Mathématiques

Définition:

• Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

• Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelles, basées sur des axiomes déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience mais ils en sont souvent inspirés notamment dans le cas des mathématiques classiques) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif.

• Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugene Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature ».

Définition

La discipline des mathématiques est un domaine d'étude fondamental qui explore les structures, les formes, les quantités et les modèles abstraits. Son importance réside dans son application ubiquitaire dans divers domaines scientifiques, technologiques, économiques et sociaux, ainsi que dans sa capacité à développer la pensée logique et analytique.

Quelques Scientifiques de référence

• Euclide - Père de la géométrie euclidienne, a formalisé de nombreux résultats géométriques dans ses "Éléments".
• Isaac Newton - A contribué à l'invention du calcul infinitésimal et a développé les lois du mouvement et de la gravitation.
• Leonhard Euler - Un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, a travaillé sur de nombreux domaines des mathématiques, y compris l'analyse, la théorie des nombres et la géométrie.
• Carl Friedrich Gauss - A contribué à de nombreux domaines des mathématiques, y compris l'algèbre, l'analyse, la géométrie et la théorie des nombres.
• Évariste Galois - A développé la théorie des groupes et a jeté les bases de la théorie de Galois.
• Georg Cantor - Le fondateur de la théorie des ensembles et a introduit le concept de cardinalité des ensembles infinis.
• David Hilbert - A formulé de nombreux problèmes mathématiques importants et a contribué à divers domaines, y compris la géométrie et l'algèbre.
• Alan Turing - Pionnier de l'informatique, a joué un rôle crucial dans la formalisation de la notion d'algorithme et dans la résolution du problème de l'arrêt.
• John von Neumann - A contribué à de nombreux domaines, notamment l'analyse fonctionnelle, la théorie des jeux et les fondements de l'informatique.
• Andrew Wiles - A résolu le dernier théorème de Fermat, un problème qui avait résisté à la solution pendant des siècles.

Caractéristiques selon *Krishnan (2009) et A.M. (2023)

Exemples d'Objet de recherche spécifique

• Théorie des nombres premiers - Étude des propriétés des nombres entiers premiers.
• Géométrie différentielle - Analyse des propriétés géométriques des courbes et des surfaces à travers les techniques du calcul différentiel.
• Théorie des ensembles - Étude des ensembles, des sous-ensembles et des opérations qui peuvent être effectuées sur eux.
• Analyse numérique - Méthodes pour résoudre numériquement des problèmes mathématiques complexes.
• Théorie des graphes - Étude des graphes pour représenter des relations entre des objets.
• Probabilité et statistiques - Analyse des phénomènes aléatoires et de la collecte, de l'analyse et de l'interprétation des données.
• Théorie des groupes - Étude des ensembles avec une opération de groupe, explorant les propriétés de symétrie.
• Topologie - Étude des propriétés conservées par des transformations continues, telles que la déformation, le pliage et le découpage.
• Théorie des nombres - Étude des propriétés des nombres entiers et de leurs relations.
• Théorie des catégories - Étude des structures mathématiques abstraites et des morphismes entre elles.

Exemples de Corpus de connaissances spécialisées accumulées

• Calcul différentiel et intégral - Ensemble de techniques pour étudier les variations et accumulations de quantités.
• Algèbre linéaire - Étude des espaces vectoriels et des transformations linéaires.
• Théorie des probabilités - Ensemble de règles pour quantifier l'incertitude et le hasard.
• Théorie des nombres transcendants - Connaissances sur les nombres qui ne sont pas des solutions d'une équation polynomiale avec des coefficients entiers.
• Géométrie non euclidienne - Connaissances sur les systèmes géométriques qui ne satisfont pas aux postulats d'Euclide.
• Théorie des fonctions - Étude des fonctions et de leurs propriétés.
• Algèbre commutative - Étude des structures algébriques où l'opération de multiplication est commutative.
• Analyse harmonique - Étude des séries et des transformées de Fourier.
• Théorie des matrices - Étude des matrices et de leurs propriétés algébriques et géométriques.
• Théorie des jeux - Connaissances sur les interactions stratégiques entre des agents rationnels.

Exemples de Théories et concepts structurant les connaissances accumulées

• Théorie de la mesure - Cadre théorique pour attribuer des tailles aux ensembles.
• Théorie des nombres premiers - Concepts comme la distribution des nombres premiers dans l'ensemble des entiers.
• Théorie des groupes - Concepts tels que les sous-groupes, les morphismes et les groupes quotients.
• Théorie des ensembles - Concepts de l'appartenance, de l'intersection, de l'union, etc.
• Théorie des graphes - Concepts de sommets, d'arêtes, de chemins, de cycles, etc.
• Théorie des catégories - Concepts de flèches, de compositions et de catégories.
• Théorie des probabilités - Concepts de probabilité, d'événements, de variables aléatoires, etc.
• Théorie des nombres transcendants - Concepts de transcendance et de nombres algébriques.
• Théorie des modèles - Concepts de modèles et de théories formelles.
• Théorie des jeux - Concepts de stratégies, de jeux à somme nulle, etc.

Exemples de Terminologies spécifiques ou langage technique adapté à l'objet d'étude

• Isomorphisme - Une bijection entre deux structures qui préserve les opérations.
• Injectivité - Une fonction où chaque élément de l'ensemble de départ est associé à au plus un élément de l'ensemble d'arrivée.
• Analyse complexe - Étude des fonctions complexes et de leurs dérivées.
• Matrice diagonale - Une matrice carrée avec des éléments non nuls uniquement sur sa diagonale principale.
• Intégrale impropre - Une généralisation de l'intégrale définie pour les fonctions qui ne sont pas bornées ou qui ne sont pas continues.
• Transcendance - Caractère d'un nombre qui n'est pas une solution d'une équation polynomiale avec des coefficients entiers.
• Théorème de Fermat - L'énoncé que pour n>2, il n'existe pas de nombres entiers x, y et z tels que x^n + y^n = z^n.
• Théorème de Bayes - Une formule pour calculer les probabilités conditionnelles.
• Espace vectoriel - Un ensemble où les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire sont définies.
• Algorithme de recherche - Une procédure systématique pour trouver une solution à un problème.

Exemples de Méthodes de recherche spécifiques

• Méthode des moindres carrés - Une méthode pour estimer les paramètres inconnus dans un modèle mathématique en minimisant la somme des carrés des écarts entre les observations réelles et les valeurs prédites par le modèle.
• Méthode de Monte-Carlo - Une technique probabiliste pour estimer des quantités en utilisant des échantillons aléatoires.
• Méthode d'Euler - Une méthode numérique pour résoudre numériquement des équations différentielles ordinaires.
• Méthode de Newton-Raphson - Une méthode itérative pour trouver les zéros d'une fonction.
• Analyse spectrale - Une méthode pour décomposer une fonction ou une opération en ses composantes constitutives dans le domaine des fréquences.
• Algorithmes génétiques - Une méthode de recherche inspirée du processus de sélection naturelle.
• Transformée de Fourier - Une méthode pour décomposer une fonction périodique en une somme de fonctions sinus et cosinus.
• Analyse dimensionnelle - Une méthode pour analyser les relations entre les différentes grandeurs physiques en termes de dimensions fondamentales.
• Méthode de régression - Une technique statistique pour étudier la relation entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables indépendantes.
• Méthode des différences finies - Une méthode numérique pour résoudre des équations différentielles en approchant les dérivées par des différences finies.

Exemples de Manifestation institutionnelle

• Département de mathématiques - Structure universitaire dédiée à l'enseignement et à la recherche en mathématiques.
• Programmes de mathématiques - Cours et diplômes offerts dans les institutions académiques à différents niveaux d'études.
• Sociétés mathématiques - Organisations professionnelles qui promeuvent la recherche et l'éducation en mathématiques.
• Revues mathématiques - Publications académiques spécialisées dans la diffusion de travaux de recherche en mathématiques.
• Conférences mathématiques - Réunions scientifiques où les chercheurs présentent et discutent de leurs travaux en mathématiques.
• Laboratoires de mathématiques - Installations de recherche équipées pour mener des expériences et des études mathématiques.
• Bourses d'études en mathématiques - Financements destinés à soutenir les étudiants et les chercheurs en mathématiques.
• Prix en mathématiques - Récompenses décernées pour reconnaître les contributions exceptionnelles à la discipline.
• Programmes de mentorat en mathématiques - Initiatives visant à soutenir le développement professionnel des étudiants et des chercheurs en mathématiques.
• Centres de recherche mathématique - Institutions spécialisées dans la recherche avancée en mathématiques.

Courants de pensées et paragdigmes dans l'histoire des connaissances

• Formalisme - Approche axée sur la formalisation rigoureuse des mathématiques à travers l'axiomatisation.
• Intuitionnisme - Position philosophique qui considère que les mathématiques sont des constructions mentales plutôt que des vérités absolues.
• Platonisme - Philosophie qui affirme que les objets mathématiques ont une existence indépendante dans un monde idéal.
• Constructivisme - Approche qui insiste sur la construction active des mathématiques par l'acte de preuve.
• Empirisme - Position qui privilégie l'expérience empirique comme fondement des connaissances mathématiques.
• Structuralisme - Perspective qui met l'accent sur les structures mathématiques en tant qu'objets d'étude principaux.
• Nominalisme - Position philosophique qui nie l'existence réelle des objets mathématiques en dehors des représentations mentales.
• Mathématiques appliquées - Orientation qui vise à résoudre des problèmes concrets en utilisant des outils mathématiques.
• Mathématiques pures - Branche des mathématiques qui se concentre sur l'étude des concepts abstraits sans préoccupation pour leurs applications pratiques.
• Mathématiques computationnelles - Domaine qui explore les aspects informatiques des mathématiques et utilise des méthodes numériques pour résoudre des problèmes.

Dates et événements importants dans l'histoire des connaissances

• 300 av. J.-C. - Élaboration des "Éléments" par Euclide, jetant les bases de la géométrie.
• 17ème siècle - Développement du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz.
• 19ème siècle - Introduction de la théorie des ensembles par Cantor et formalisation des fondements des mathématiques.
• 20ème siècle - Émergence de la théorie de la relativité d'Einstein et de la mécanique quantique.
• 1931 - Publication des "Principia Mathematica" par Russell et Whitehead, tentant de fonder les mathématiques sur la logique.
• 1950s - Développement de la théorie des catégories par Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane.
• 1960s - Introduction de la théorie des modèles par Abraham Robinson et Alfred Tarski.
• 1994 - Preuve du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles.
• 2002 - Résolution du problème de Poincaré par Grigori Perelman.
• 2012 - Découverte du boson de Higgs, confirmant certaines prédictions de la physique mathématique.