Equations du Premier Degré à une Inconnue

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Equations du Premier Degré à une Inconnue (Français) / First Degree Equation with One Unknown (Anglais) / معادلات درجة أولى لمتغير واحد (Arabe)

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Traductions

Définition

Domaine, Discipline, Thématique

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Mathématiques / Algèbre /

Justification

Définition écrite

Définition niveau de formulation élémentaire:

• Une équation est une égalité dans laquelle il y a une ou plusieurs inconnues (généralité des équations).
• Une équation du premier degré est donc une équation à une inconnue (degrés de l'équation).
• Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution (propriété).

*On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation qui peut s'écrire sous la forme ax + b = cx + d 
où a, b, c et d sont des nombres tels que a ≠ b. (Propriété : Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution.)

• L'équation ax+b=0, où a est un réel non nul, b est un réel et x est l'inconnue, est appelée équation du premier degré à une inconnue.

L'équation est dite du premier degré car l'exposant de l'inconnue est 1.
Exemples:
x+1=0  ; 2x+6=0  ; x-2=0  ; 2x-5=0  ; x/2 +5/3=0

• x0 est dite solution de l'équation ax+b=0 si et seulement si ax0+b=0

Exemples: 
2 est solution de l'équation x-2=0 car en remplaçant x par 2 dans l'équation, l'égalité est vérifiée: 2-2=0 ;
-3 est solution de l'équation 2x+6=0 car en remplaçant x par -3 dans l'équation, l'égalité est vérifiée.

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Deux équations sont dites équivalentes sur un ensemble si elles ont le même ensemble de solutions sur cet ensemble. Exemple: Les deux équations x-1=0 et 2x-2=0 sont équivalentes sur R car 1 est solution de l'équation x-1=0 et 1 est solution de l'équation 2x-2=0.

Equations du Premier Degré à une Inconnue - Historique (+)

Définition graphique

Carte conceptuelle : Equation 1er degré - 1 inconnue

• 

  Résolution Algebrique d'une Equation du Premier Degré

• 

  Exemples

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Concepts ou notions associés

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Equation / Inconnue / Solution / Degré d'une équation / Factorisation /

Equations du Premier Degré à une Inconnue - Glossaire / (+)

Exemples, applications, utilisations

Résoudre l'équation x+1=0 Réponse:En revenant à la définition, l'équation ax+b=0. a comme solution, si a différent de 0, x=-b/a Dans notre cas a=1 et b=1 d'où x=-1/1=-1 est solution de l'équation x+1=0. Vérification: x+1=-1+1=0 Résoudre l'équation x-1=0 Réponse: L'équation x-1=0 s'écrit x+(-1)=0 En revenant à la définition, dans l'équation x+(-1)=0, on a: a=1 et b=-1 d'où x=-(-1)/1=1/1=1 Vérification:x-1=1-1=0 Résoudre l'équation 2x+3=0 Réponse:En revenant à la définition, dans l'équation 2x+3=0, on a: a=2 et b=3 d'où x=-3/2 Vérification: 2x+3=2x(-3/2)+3=-3+3=0 Résoudre l'équation x+6=4 Réponse:Dans ce cas, on ramène cette équation à une équation équivalente à ax+b=0 d'où en appliquant la propriété qui consiste à rajouter l'opposé de 4 aux deux membres de l'équation, on obtient x+6+(-4)=4+(-4) équivaut à x+6-4=0 donc x+2=0 d'où en revenant à la définition , dans l'équation x+2=0, on a: a=1 et b=2 d'où x=-2/1=-2 Vérification:x+6=(-2)+6=4 Résoudre 3x-1=2x+4 Réponse: 1ere étape: on regroupe tous les termes à gauche du signe égal et en appliquant la règle qui consiste à changer le signe des termes du membre à droite en leur opposé: 3x-1 +(-(2x+4))=2x+4+(-(2x+4)) d'où 3x-1-(2x+4)=0 car un nombre ajouté à son opposé=0 d'où 3x-1-(2x+4)=0 2ème étape: on développe et on simplifie, on obtient alors: 3x-1-2x-4=0 d'où 3x-2x-1-4=0 d'où x-5=0 3ème étape:En revenant à la définition, dans l'équation x-5=0 qui est équivalente à x+(-5)=0, on a: a=1 et b=-5 d'où x=-(-5)/1=5 Vérification:3x-1=3x(5)-1=15-1=14 d'une part et 2x+4=2x(5)+4=10+4=14 d'autre part (+)

Erreurs ou confusions éventuelles

Erreur: Croire que

• E(x)=3(x-1) équivaut à E(x)=3x-1 et ce, suite au développement de 3(x-1) pour donner E(x)=3x-1

Ce qui est non conforme à la règle suivante: a(b-c)=ab-ac.
Aussi, en appliquant la règle susvisée pour a=3; b=x et c=1 on obtient alors 3(x-1)=3x-3 d'où E(x)=3x-3

• Résoudre l'équation 4x-3=0 donne x=-3/4

L'application correcte de la formule (ax+b=0 donne x=-b/a) exige la réécriture de l'équation 4x-3=0 comme suit:
4x+(-3)=0 avec a=4 et b=-3 d'où x=-(-3)/4 équivaut à x=3/4
Vérification: 4 (3/4) - 3= 12/4-3=3-3=0.

• Vérifier si le nombre 2 est une solution de l'équation 3x+2=8, revient à résoudre à cette équation.

Aussi, il suffit de remplacer x par 2 dans le premier membre de l'équation (3x+2) puis vérifier l'égalité avec le second membre (=8)
On obtient 3 x 2 + 2 = 6 + 2 = 8 d'où l'égalité est vérifiée entre les deux membres de l'équation d'où 2 est une solution de l'équation 3x+2=8  

Confusion possible ou glissement de sens

• L'équation de type ax = 0 : c'est un cas trivial paradoxalement mal résolu au collège où l'on rencontre trop souvent la réponse x= - a,

confusion classique avec l'équation x + a = 0.
La solution de l'équation ax = 0 (a non nul) est x= 0 car il s'agit là d'un produit nul a x x= 0 et a étant non nul, x l'est nécessairement.
Donc, par exemple, la résolution de l'équation 2x=0 donne x=0. 

• Confusion lors de la résolution de l'équation 6+x=−12

Pour la résoudre, il suffirait de transposer le terme 6 c'est à dire de le faire passer dans le membre de droite en le changeant de signe !
Mais non ! Certains élèves encore écrivent x=−12/6 Ce qui est faux ! 
Ils n'ont pas fait attention que x n'est pas multiplié par 6 mais que l'on ajoute 6 à x.

• Confusion entre les équations avec une addition et celles avec une multiplication.

Exemple: 6x=−12 et 6+x=−12
Or en comparant les solutions de ces deux équations :
6x=−12 donne x=-12/6=-2
Par contre 6+x=−12 donne x=-12-=-18

Erreur fréquente:

• Changement de terme d'une équation d'un membre à l'autre sans changer de signe

• La conception "la solution de l'équation "opposée" est l'opposée de la solution de l'équation initiale".

Exemple: Soient les deux équations opposées 3x-9=0 et -3x+9=0 donc elles ont la même solution x=3 et non pas de solutions opposées.

• La solution de l'équation ax+b=10 donne x=10 , ce qui est faux.

Exemple: x+6=10 donne x=4 et non x=10

• La simplification par x dans l'équation 2x=x donne x=2 ce qui est faux car la simplification exige dans ce cas x différent de 0.

D'où 2x=x équivaut à 2x-x=0 donne x=0

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Questions possibles

• Nombre de solution d'une équation du premier degré?
• Nombre d'équations équivalentes à une équation du premier degré?
• Mise en équation du premier degré d'un problème?
• 0x=5 est-elle une équation du premier degré?

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Liaisons enseignements et programmes

Idées ou Réflexions liées à son enseignement

• Appliquer la règle fondamentale de manipulation des équations du premier degré:

 On ne change pas la solution d'une équation du premier degré en appliquant la même 
 transformation réversible à ses deux termes.

• Se rappeler de la notion de distributivité:a(b+c)=ab+ac ; a(b-c)=ab-ac; (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

• Attention à la division par 0, c'est une opération impossible donc à éviter.

• Faire transmettre aux premiers responsables, les résultats et les outputs des travaux

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Aides et astuces

• Développer, simplifier et ramener l'expression à la forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue

 et en fin résoudre l'équation en se référant à la formule (ax+b=0 donne comme solution x=-b/a).

• Astuces pour résoudre une équation du premier degré:

-Astuce1.Possible de se contenter de deux opérations : l’addition et la multiplication. En effet, une soustraction est simplement un addition par l’opposé et 
 une division est une multiplication par l’inverse. Par exemple, soustraire 6, c’est ajouter (-6) et diviser par 7, c’est multiplier par 1/7.
-Astuce 2.Regrouper tous les termes du même côté, le terme de droite restant égal à 0.
-Astuce 3.Il est possible de supprimer les parenthèses grâce à la distributivité. 
                                               

• Lors de la mise en équation d'un problème, il est conseillé de suivre les étapes suivantes:

 -Choix de l'inconnue
 -Mise en équation du problème
 -Résolution de l'équation
 -Interprétation du résultat
 -Conclusion et prévision

• Veuillez toujours à vérifier la solution proposée.

Education: Autres liens, sites ou portails

• Mathématiques faciles
• Erreurs dans la factorisation

Bibliographie

Pour citer cette page: (du Premier Degré à une Inconnue)

ABROUGUI, M & al, 2023. Equations du Premier Degré à une Inconnue. In Didaquest [en ligne]. <http:www.didaquest.org/wiki/Equations_du_Premier_Degr%C3%A9_%C3%A0_une_Inconnue>, consulté le 2, juin, 2024

• Manuel scolaire Mathématiques 1ere année secondaire (Tunisie)
• Manuel scolaire Mathématiques 2eme année secondaire (Tunisie)

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