Complexité des objets mathématiques

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Conception : Clarification - Explicitation

Conceptions canoniques

• Didactique des mathématiques : Définition

La didactique des mathématiques est une branche des sciences de l’éducation qui s’intéresse aux processus d’enseignement et d’apprentissage des mathématiques.

• Origines possibles

- Nécessité de formaliser les pratiques d’enseignement pour améliorer la transmission des savoirs. - Besoin d’adapter les contenus et méthodes à des publics diversifiés.

• Didactique vs pédagogie : Comparaison

La didactique des mathématiques se concentre sur les contenus disciplinaires (concepts mathématiques, méthodes spécifiques), tandis que la pédagogie traite des méthodes générales d’enseignement et de gestion de la classe.

• Origines possibles

- Confusion entre le « quoi enseigner » (didactique) et le « comment enseigner » (pédagogie). - Manque de clarté dans la formation initiale des enseignants.

• Les obstacles épistémologiques

Les obstacles épistémologiques sont des blocages liés à des conceptions erronées ou simplifiées des savoirs mathématiques.

• Origines possibles

- Modèles mentaux inadaptés construits dès les premiers apprentissages. - Approches trop axées sur la mémorisation au détriment de la compréhension.

• Obstacles conceptuels vs obstacles procéduraux : Comparaison

Les obstacles conceptuels (exemple : difficulté à comprendre une fraction comme un rapport) diffèrent des obstacles procéduraux (exemple : erreurs dans l’algorithme de division).

• Origines possibles

- Absence de liens entre les représentations concrètes et abstraites des concepts. - Priorité donnée aux exercices mécaniques sans réflexion sous-jacente.

• Complexité des interactions

Les interactions entre enseignant, élève et savoir (triangle didactique) sont dynamiques et complexes. Une explication mal perçue ou une réponse imprécise peut entraîner des incompréhensions.

• Origines possibles

- Communication verbale et non-verbale insuffisamment adaptée au contexte. - Différences de cadre de référence entre enseignant et apprenants.

• Usage des technologies : Opportunités et limites

Les outils numériques, comme les logiciels de géométrie, offrent de nouvelles perspectives d’apprentissage. Toutefois, leur usage non guidé peut conduire à une compréhension partielle ou à une dépendance technologique.

• Origines possibles

- Intégration des technologies sans formation préalable des enseignants. - Conception des outils parfois trop éloignée des réalités des apprenants.

• Écarts entre intentions et apprentissages réels

Une différence notable existe parfois entre les intentions didactiques des enseignants et ce que les élèves apprennent effectivement.

• Origines possibles

- Inadéquation entre les attentes des élèves et les démarches proposées. - Absence de rétroaction ou de régulation pédagogique pendant l’activité.

Conceptions erronées et origines possibles

• Origine : Manque de clarté des concepts

Les concepts mathématiques sont souvent présentés de manière trop abstraite, sans lien explicite avec des exemples concrets ou des situations réelles. Cela peut conduire à des malentendus ou des interprétations erronées par les apprenants.

• Origine : Confusion entre langage courant et langage mathématique

Certains termes utilisés en mathématiques (ex. : "ensemble", "fonction", "infinité") ont des significations différentes dans le langage courant, ce qui peut provoquer des incompréhensions.

• Origine : Modèles mentaux inadaptés

Les apprenants construisent parfois des modèles mentaux erronés en raison d'expériences d'apprentissage antérieures où les notions ont été mal expliquées ou simplifiées à l'excès.

• Origine : Didactique axée sur les procédures

Une focalisation excessive sur les procédures et les algorithmes peut empêcher les apprenants de comprendre les concepts sous-jacents, rendant difficile leur application dans des contextes nouveaux.

• Origine : Absence de différenciation pédagogique

L’absence de prise en compte des différents styles d’apprentissage et des besoins spécifiques des élèves peut entraîner des difficultés de compréhension pour certains apprenants.

• Origine : Usage inadapté des technologies

Lorsque les outils numériques sont mal intégrés, ils peuvent détourner l’attention des objectifs d’apprentissage ou renforcer des conceptions erronées (ex. : dépendance aux calculatrices sans compréhension des étapes intermédiaires).

• Origine : Obstacles liés à la transmission enseignant-apprenant

Des explications mal adaptées ou une communication insuffisante entre enseignant et élèves peuvent générer des incompréhensions ou des ambiguïtés dans l’interprétation des notions.

• Origine : Poids des croyances culturelles

Certaines idées préconçues ou croyances issues du contexte culturel (ex. : "les mathématiques sont réservées aux surdoués") peuvent décourager les élèves et les amener à sous-estimer leurs capacités.

• Origine : Absence de rétroaction immédiate

Un manque de feedback pendant ou après les activités peut laisser persister des erreurs de compréhension ou de raisonnement.

• Origine : Contenus scolaires déséquilibrés

Un programme scolaire qui favorise certains aspects des mathématiques (comme les algorithmes) au détriment d'autres (comme la résolution de problèmes ouverts) peut créer des lacunes dans la compréhension globale de la discipline.

• Origine : Influence des évaluations standardisées

La pression exercée par les tests standardisés peut inciter à privilégier la mémorisation et les réponses rapides plutôt que la réflexion approfondie, ce qui limite le développement d’une véritable compréhension.

• Origine : Formation insuffisante des enseignants

Un manque de formation spécifique en didactique des mathématiques peut conduire à des approches pédagogiques inefficaces ou à des explications inadaptées.

• Origine : Manque d'intégration des erreurs comme outil d'apprentissage

Les erreurs des élèves ne sont pas toujours utilisées comme point de départ pour expliquer les notions, ce qui peut renforcer des conceptions erronées.

• Origine : Vision rigide des mathématiques

Considérer les mathématiques comme une discipline uniquement rigoureuse et dénuée de créativité peut limiter l’engagement des élèves et réduire leur capacité à explorer des stratégies alternatives.

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Conceptions liées - Typologie

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Confusion entre didactique et pédagogie / Erreur dans l’interprétation du langage mathématique / Confusion entre savoir savant et savoir enseigné / Difficulté avec les obstacles épistémologiques / Nuance entre une erreur et une misconception / Problème de transposition didactique / Confusion entre intuition et raisonnement formel / Complexité liée au contrat didactique implicite / Mauvaise interprétation des représentations graphiques / Confusion entre langage naturel et langage symbolique /

Concepts ou notions associés

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Stratégie de changement conceptuel

Voici des stratégies pour favoriser des changements conceptuels et dissiper des obstacles en mathématiques :

• Clarification de la distinction entre didactique et pédagogie:

Il est important de commencer par expliciter la différence entre didactique et pédagogie pour éviter la confusion. - Exemple : Expliquer que la **didactique** se concentre sur la **structure des connaissances** et la manière dont elles doivent être enseignées, tandis que la **pédagogie** englobe des approches plus larges de l'enseignement, y compris la gestion de la classe et les stratégies motivationnelles.

• Transposition didactique simplifiée:

Pour éviter la confusion sur la transposition didactique, on peut utiliser des exemples concrets de transposition de concepts mathématiques. - Exemple : Montrer comment un concept abstrait, comme les fonctions, est simplifié en classe avec des graphiques ou des tables de valeurs, avant d'être approfondi dans un contexte plus théorique.

• Utilisation d’analogies pour surmonter les obstacles épistémologiques:

Les analogies peuvent aider à comprendre des concepts difficiles en les reliant à des expériences quotidiennes. - Exemple : Utiliser l'analogie du "compte-gouttes" pour expliquer les concepts d'infini ou de limites, en comparant un goutte à goutte d’eau qui semble infini mais n’est en fait qu’une petite portion d'un tout.

• Explicitation du langage mathématique:

Clarifier le langage mathématique dès le début pour éviter que les élèves n’interprètent mal les symboles. - Exemple : Au lieu de simplement dire que "x = 5", montrer que cela signifie "x est équivalent à 5" et non "x donne 5", afin de souligner la relation d’équivalence.

• Distinguer les erreurs et misconceptions:

Il est crucial de démontrer comment certaines erreurs proviennent de mauvaises interprétations persistantes. - Exemple : Après une erreur de calcul sur les fractions, discuter des raisons sous-jacentes et proposer des activités pour déconstruire la misconception, comme en utilisant des représentations visuelles.

• Renforcement du contrat didactique:

Clarifier les attentes implicites entre enseignant et élèves peut lever des confusions. - Exemple : Présenter explicitement ce que l'enseignant attend de l'élève, et vice versa, dans le cadre d'un problème mathématique, en soulignant l'importance des démarches et du raisonnement, pas seulement des résultats.

• Démonstration de l’importance du raisonnement formel:

Amener les élèves à distinguer clairement l’intuition du raisonnement rigoureux. - Exemple : Montrer un raisonnement informel sur les propriétés des triangles, puis le vérifier rigoureusement avec les théorèmes associés, afin que les élèves comprennent que l'intuition doit être justifiée par des preuves formelles.

• Exercices sur les représentations graphiques:

Utiliser des exercices pratiques qui relient les graphiques aux équations. - Exemple : Demander aux élèves de dessiner des graphiques et de déterminer les équations associées pour des fonctions simples, afin de leur faire comprendre la relation entre représentation géométrique et algébrique.

• Utilisation de la reformulation pour résoudre les erreurs de compréhension:

Encourager les élèves à reformuler les questions ou problèmes dans leurs propres mots pour clarifier leurs incompréhensions. - Exemple : Après une erreur dans la résolution d’une équation, demander à l’élève de reformuler l’énoncé en d’autres termes pour mieux saisir le problème.

• Pratique du feedback constructif:

Le feedback doit non seulement corriger les erreurs mais aussi expliquer pourquoi une démarche est incorrecte et proposer des solutions concrètes. - Exemple : Lorsque les élèves commettent une erreur dans une opération, non seulement donner la bonne réponse, mais aussi expliquer en quoi la méthode initiale était erronée et proposer des alternatives plus efficaces.

Ces stratégies, accompagnées d'exemples pratiques, peuvent aider à surmonter les obstacles d’apprentissage en mathématiques et à améliorer la compréhension des élèves.

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Questions possibles

• Quelle est la différence entre la didactique et la pédagogie ? : La didactique se concentre sur le contenu disciplinaire et ses méthodes d'enseignement, tandis que la pédagogie traite des approches générales de l'enseignement.

• Qu'est-ce que la transposition didactique ? : C'est le processus par lequel un savoir savant est transformé en un savoir enseignable adapté au contexte éducatif.

• Comment les obstacles épistémologiques influencent-ils l'apprentissage des mathématiques ? : Ils peuvent créer des incompréhensions persistantes dues à la nature abstraite et historique des concepts mathématiques.

• Quelles sont les principales erreurs liées au langage mathématique ? : Une erreur fréquente est de confondre "=" comme "donne la réponse" au lieu de "établit une équivalence".

• En quoi consiste le contrat didactique ? : Il désigne les attentes implicites entre l'enseignant et l'élève sur leurs rôles respectifs dans le processus d'apprentissage.

• Pourquoi est-il important de différencier une erreur d’une misconception ? : Une erreur est ponctuelle et corrigible immédiatement, alors qu'une misconception traduit une compréhension incorrecte persistante.

• Comment le langage naturel peut-il créer des confusions en mathématiques ? : Les formulations intuitives peuvent parfois contredire la rigueur des définitions mathématiques, entraînant des malentendus.

• Quels sont les défis liés à l’enseignement des représentations graphiques ? : Les élèves peuvent avoir des difficultés à faire le lien entre les propriétés géométriques visibles et les concepts mathématiques abstraits.

• Qu'est-ce que l'intuition en mathématiques, et en quoi se distingue-t-elle du raisonnement formel ? : L'intuition repose sur des perceptions immédiates ou des exemples concrets, tandis que le raisonnement formel suit une logique rigoureuse et abstraite.

• Comment évaluer les conceptions erronées chez les élèves en mathématiques ? : Cela peut se faire en analysant leurs réponses à des tâches complexes et en identifiant les raisonnements sous-jacents incorrects.

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Bibliographie

Pour citer cette page: (des objets mathématiques)

ABROUGUI, M & al, 2024. Complexité des objets mathématiques. In Didaquest [en ligne]. <http:www.didaquest.org/wiki/Complexit%C3%A9_des_objets_math%C3%A9matiques>, consulté le 23, décembre, 2024

Bibliographie

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