Valeur propre - Vecteur propre

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Conception : Clarification - Explicitation

Conceptions canoniques

• Dans la physique quantique, une valeur propre d'une opération mathématique (généralement une matrice) est une solution de l'équation qui lui est associée. Elle correspond à un nombre qui caractérise de manière unique l'opération en question.

• Un vecteur propre, quant à lui, est un vecteur qui n'est pas modifié (c'est-à-dire qui ne subit pas de changement de direction) lorsqu'il est transformé par l'opération associée à la matrice. Un vecteur propre est donc associé à chaque valeur propre, et peut être utilisé pour représenter de manière unique l'état d'un système physique.

Soit A un opérateur et psi un ket. Nous dirons que psi est vecteur propre de A si le transformé de psi par action de A est un vecteur proportionnel à psi ; soit: AΨ=ʎΨ (ʎ étant un nombre à priori complexe). On dit alors que ʎ est une valeur propre de A et Ψ vecteur propre associé à cette valeur propre ʎ. L'équation AΨ = ʎΨ est appelée équation aux valeurs propres de A et l'ensemble des valeurs propres constitue ce que l'on convient d'appeler spectre de l'opérateur A; il peut être soit discret, soit continu, soit en partie discret et en partie continu. Afin de distinguer entre les diverses vecteurs propres de A, on utilise un indice n qui affecte aussi les valeurs propres correspondant et l'équation aux valeurs propres se note: AΨn=ʎΨn

• En résumé:
  
• une valeur propre est un nombre qui caractérise une opération, tandis qu'un vecteur propre est un vecteur qui ne change pas de direction lorsqu'il est transformé par cette opération.
  
• pour chaque valeur propre, il existe un vecteur propre associé, et vice versa.
  
• Les valeurs propres sont des nombres complexes qui décrivent l'énergie potentielle d'un système quantique, tandis que les vecteurs propres sont des vecteurs complexes qui décrivent les états quantiques associés à ces valeurs propres.

Conceptions erronées et origines possibles

• Inversion des rôles des valeurs propres et des vecteurs propres : Les étudiants peuvent souvent inverser le rôle des valeurs propres et des vecteurs propres, par exemple en associant une valeur propre à un vecteur propre au lieu de l'inverse.
  
• Mauvaise interprétation des valeurs propres et des vecteurs propres : Les étudiants peuvent avoir du mal à comprendre la signification des valeurs propres et des vecteurs propres en mécanique quantique. Par exemple, ils peuvent ne pas comprendre que les valeurs propres décrivent l'énergie potentielle d'un système quantique et que les vecteurs propres décrivent les états quantiques associés à ces valeurs propres.
  
• Oubli de la normalisation des vecteurs propres : Les vecteurs propres doivent être normalisés, c'est-à-dire avoir une norme égale à 1. Les étudiants peuvent oublier ce critère important lorsqu'ils travaillent avec des vecteurs propres.

Conceptions: Origines possibles

• Les valeurs propres et les vecteurs propres sont des outils de description des états quantiques d'un système quantique
  
• Mal comprendre pleinement la différence entre un nombre complexe et un vecteur complexe.
  
• les vecteurs propres sont souvent présentés comme étant associés, ce qui peut contribuer à la confusion des étudiants.

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Conceptions liées - Typologie

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Concepts ou notions associés

Valeur propre / Vecteur propre / Ket / Bra / Matrice / Equation aux valeurs propres /

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Bibliographie

Pour citer cette page: (propre - Vecteur propre)

ABROUGUI, M & al, 2023. Valeur propre - Vecteur propre. In Didaquest [en ligne]. <http:www.didaquest.org/wiki/Valeur_propre_-_Vecteur_propre>, consulté le 7, mai, 2024

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