Différences entre versions de « Equations du Premier Degré à une Inconnue »

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{{@}} Définition niveau de formulation élémentaire:  
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{{@}} '''Définition niveau de formulation élémentaire:'''
 
* Une équation est une égalité dans laquelle il y a une ou plusieurs inconnues (généralité des équations).
 
* Une équation est une égalité dans laquelle il y a une ou plusieurs inconnues (généralité des équations).
 
* Une équation du premier degré est donc une équation à une inconnue (degrés de l'équation).
 
* Une équation du premier degré est donc une équation à une inconnue (degrés de l'équation).
 
* Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution (propriété).
 
* Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution (propriété).
  
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  On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation qui peut s'écrire sous la forme ax + b = cx + d  
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  *On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation qui peut s'écrire sous la forme ax + b = cx + d  
 
  où a, b, c et d sont des nombres tels que a ≠ b. ('''Propriété''' : Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution.)
 
  où a, b, c et d sont des nombres tels que a ≠ b. ('''Propriété''' : Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution.)
  
 
*L'équation ax+b=0, où a est un réel non nul, b est un réel et x est l'inconnue, est appelée équation du premier degré à une inconnue.  
 
*L'équation ax+b=0, où a est un réel non nul, b est un réel et x est l'inconnue, est appelée équation du premier degré à une inconnue.  
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L'équation est dite du premier degré car l'exposant de l'inconnue est 1.
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L'équation est dite du premier degré car l'exposant de l'inconnue est 1.
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Exemples:
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Exemples:
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x+1=0  ; 2x+6=0  ; x-2=0  ; 2x-5=0  ; x/2 +5/3=0
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x+1=0  ; 2x+6=0  ; x-2=0  ; 2x-5=0  ; x/2 +5/3=0
 
*'''x0''' est dite '''solution''' de l'équation '''ax+b=0''' si et seulement si '''ax0+b=0'''
 
*'''x0''' est dite '''solution''' de l'équation '''ax+b=0''' si et seulement si '''ax0+b=0'''
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exemples: 2 est solution de l'équation x-2=0 car en remplaçant x par 2
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Exemples:  
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dans l'équation, l'égalité est vérifiée: '''2'''-2=0 ;
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2 est solution de l'équation x-2=0 car en remplaçant x par 2 dans l'équation, l'égalité est vérifiée: '''2'''-2=0 ;
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-3 est solution de l'équation 2x+6=0 car en remplaçant x par -3 dans l'équation, l'égalité est vérifiée.  
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-3 est solution de l'équation 2x+6=0 car en remplaçant x par -3 dans l'équation, l'égalité est vérifiée.  
 
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<!-- ************* Début Définition Approfondissement ************* -->
 
<!-- ************* Début Définition Approfondissement ************* -->
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*Deux équations sont dites équivalentes sur un ensemble si elles ont le même ensemble de solutions sur cet ensemble.
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*Deux '''équations''' sont dites '''équivalentes''' sur un ensemble si elles ont le même ensemble de solutions sur cet ensemble.                              
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Exemple: Les deux équations x-1=0 et 2x-2=0 sont équivalentes sur R car
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Exemple: Les deux équations x-1=0 et 2x-2=0 sont équivalentes sur R car 1 est solution de l'équation x-1=0 et
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1 est solution de l'équation x-1=0  
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1 est solution de l'équation 2x-2=0.  
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et
 
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1 est solution de l'équation 2x-2=0.  
 
 
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*'''Résoudre l'équation x+1=0'''
 
*'''Résoudre l'équation x+1=0'''
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  Réponse:En revenant à la définition, l'équation ax+b=0. a comme solution, si a différent de 0, x=-b/a
 
  Réponse:En revenant à la définition, l'équation ax+b=0. a comme solution, si a différent de 0, x=-b/a
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  Dans notre cas a=1 et b=1 d'où x=-1/1=-1 est solution de l'équation x+1=0
+
  Dans notre cas a=1 et b=1 d'où x=-1/1=-1 est solution de l'équation x+1=0.
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  Vérification: x+1=-1+1=0  
 
  Vérification: x+1=-1+1=0  
  
 
*'''Résoudre l'équation x-1=0'''
 
*'''Résoudre l'équation x-1=0'''
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  Réponse: L'équation x-1=0 s'écrit x+(-1)=0
 
  Réponse: L'équation x-1=0 s'écrit x+(-1)=0
 
  En revenant à la définition, dans l'équation x+(-1)=0, on a:
 
  En revenant à la définition, dans l'équation x+(-1)=0, on a:
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*'''Résoudre l'équation 2x+3=0'''
 
*'''Résoudre l'équation 2x+3=0'''
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  Réponse:En revenant à la définition, dans l'équation 2x+3=0, on a:
 
  Réponse:En revenant à la définition, dans l'équation 2x+3=0, on a:
 
  a=2 et b=3 d'où x=-3/2
 
  a=2 et b=3 d'où x=-3/2
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*'''Résoudre l'équation x+6=4'''
 
*'''Résoudre l'équation x+6=4'''
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  Dans ce cas, on ramène cette équation à une équation équivalente à ax+b=0
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Réponse:Dans ce cas, on ramène cette équation à une équation équivalente à ax+b=0
 
  d'où en appliquant la propriété qui consiste à rajouter l'opposé de 4 aux deux membres
 
  d'où en appliquant la propriété qui consiste à rajouter l'opposé de 4 aux deux membres
 
  de l'équation, on obtient x+6+'''(-4)'''=4+'''(-4)''' équivaut à x+6-4=0
 
  de l'équation, on obtient x+6+'''(-4)'''=4+'''(-4)''' équivaut à x+6-4=0
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*'''Résoudre 3x-1=2x+4'''
 
*'''Résoudre 3x-1=2x+4'''
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Réponse:
 
  '''1ere étape''': on regroupe tous les termes à  gauche du signe égal et en appliquant la règle
 
  '''1ere étape''': on regroupe tous les termes à  gauche du signe égal et en appliquant la règle
 
  qui consiste à changer le signe des termes du membre à droite en leur opposé:
 
  qui consiste à changer le signe des termes du membre à droite en leur opposé:
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{{@}} '''Confusion possible ou glissement de sens'''
 
{{@}} '''Confusion possible ou glissement de sens'''
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* Confusion entre [[* 2x=6 donne x=6-2 d'où x=4
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*L'équation de type ax = 0 : c'est un cas trivial paradoxalement mal résolu au collège où l'on rencontre trop souvent la réponse x= - a,
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Or 2x=6 donne x=6/2 d'où x=3]]
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confusion classique avec l'équation x + a = 0.
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* Confusion entre [[3+x=9 donne x=9/3 d'où x=3
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La solution de l'équation ax = 0 (a non nul) est x= 0 car il s'agit là d'un produit nul a x x= 0 et a étant non nul, x l'est nécessairement.
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Or 3+x=9 donne x=9-3 d'ou x=6]]
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Donc, par exemple, la résolution de l'équation 2x=0 donne x=0.
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*Confusion lors de la résolution de l'équation 6+x=−12
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Pour la résoudre, il suffirait de transposer le terme 6 c'est à dire de le faire passer dans le membre de droite en le changeant de signe !
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Mais non ! Certains élèves encore écrivent x=−12/6 Ce qui est faux !
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Ils n'ont pas fait attention que x n'est pas multiplié par 6 mais que l'on ajoute 6 à x.
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*Confusion entre les équations avec une addition et celles avec une multiplication.
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Exemple: 6x=−12 et 6+x=−12
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Or en comparant les solutions de ces deux équations :
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6x=−12 donne x=-12/6=-2
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Par contre 6+x=−12 donne x=-12-=-18
  
 
{{@}} '''Erreur fréquente''':  
 
{{@}} '''Erreur fréquente''':  
 
* Changement de terme d'une équation d'un membre à l'autre sans changer de signe
 
* Changement de terme d'une équation d'un membre à l'autre sans changer de signe
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*La conception "la solution de l'équation "opposée" est l'opposée de la solution de l'équation initiale".
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Exemple: Soient les deux équations opposées 3x-9=0 et -3x+9=0 donc elles ont la même solution x=3 et non pas de solutions opposées.
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*La solution de l'équation ax+b=10 donne x=10 , ce qui est faux.
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Exemple: x+6=10 donne x=4 et non x=10
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*La simplification par x dans l'équation 2x=x donne x=2 ce qui est faux car la simplification exige dans ce cas x différent de 0.
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D'où 2x=x équivaut à 2x-x=0 donne x=0
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}}<!-- ************** Fin Fiche Didactique Conceptions ********************* -->
 
}}<!-- ************** Fin Fiche Didactique Conceptions ********************* -->
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* [[Nombre de solution d'une équation du premier degré]]?
 
* [[Nombre de solution d'une équation du premier degré]]?
 
* [[Nombre d'équations équivalentes à une équation du premier degré]]?
 
* [[Nombre d'équations équivalentes à une équation du premier degré]]?
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* [[Mise en équation du premier degré d'un problème]]?
 
* [[0x=5 est-elle une équation du premier degré]]?
 
* [[0x=5 est-elle une équation du premier degré]]?
  
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<!-- Complétez les pointillés et Supprimez les lignes non utilisées          ----->
 
<!-- Complétez les pointillés et Supprimez les lignes non utilisées          ----->
 
<!-- ****************** Commercez les modifications **************************  -->
 
<!-- ****************** Commercez les modifications **************************  -->
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* Appliquer la règle fondamentale de manipulation des équations du premier degré:
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  On ne change pas la solution d'une équation du premier degré en appliquant la même
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  transformation réversible à ses deux termes.
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*Se rappeler de la notion de distributivité:a(b+c)=ab+ac ; a(b-c)=ab-ac; (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
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* Attention à la division par 0, c'est une opération impossible donc à éviter.
  
 
* Faire transmettre aux premiers responsables, les résultats et les outputs des travaux
 
* Faire transmettre aux premiers responsables, les résultats et les outputs des travaux
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conduits sous la supervision du Professeur Mondher Abrougui                                                                                               
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}}<!-- ************************* Fin Idées-Enseignement ********************** -->
 
}}<!-- ************************* Fin Idées-Enseignement ********************** -->
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<!-- ****************** Commercez les modifications **************************  -->
 
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* Développer, simplifier et ramener l'expression à la forme générale d'une équation
+
* Développer, simplifier et ramener l'expression à la forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue
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du premier degré à une inconnue et en fin résoudre l'équation en se référant
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  et en fin résoudre l'équation en se référant à la formule (ax+b=0 donne comme solution x=-b/a).
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à la formule (ax+b=0 donne comme solution x=-b/a)                                              
+
 
−
* Lors de la mise en équation d'un problème, il est conseillé de suivre les étapes
+
*Astuces pour résoudre une équation du premier degré:
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suivantes:
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-Astuce1.Possible de se contenter de deux opérations : l’addition et la multiplication. En effet, une soustraction est simplement un addition par l’opposé et
−
*Pour résoudre un problème après sa mise
+
  une division est une multiplication par l’inverse. Par exemple, soustraire 6, c’est ajouter (-6) et diviser par 7, c’est multiplier par 1/7.
−
en équation et ce, tout en respectant les 5
+
-Astuce 2.Regrouper tous les termes du même côté, le terme de droite restant égal à 0.
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étapes suivantes:
+
-Astuce 3.Il est possible de supprimer les parenthèses grâce à la distributivité.
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-choix de l'inconnue
+
                                               
−
-mise en équation du problème
+
* Lors de la mise en équation d'un problème, il est conseillé de suivre les étapes suivantes:
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-résolution de l'équation
+
  -Choix de l'inconnue
−
-interprétation du résultat
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  -Mise en équation du problème
−
-conclusion et prévision
+
  -Résolution de l'équation
 +
  -Interprétation du résultat
 +
  -Conclusion et prévision
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* Veuillez toujours à vérifier la solution proposée.                                                 
 
* Veuillez toujours à vérifier la solution proposée.                                                 
 
                                              
 
                                              
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:* [https://www.mathematiquesfaciles.com/equation-du-premier-degre-a-1-inconnue_2_123850.htm Mathématiques faciles]
 
:* [https://www.mathematiquesfaciles.com/equation-du-premier-degre-a-1-inconnue_2_123850.htm Mathématiques faciles]
 
:* [https://docplayer.fr/45101445-Etude-des-raisons-d-apparition-d-erreurs-stables-chez-les-eleves-de-troisieme-sur-un-sous-domaine-du-calcul-litteral-la-factorisation.html Erreurs dans la factorisation]
 
:* [https://docplayer.fr/45101445-Etude-des-raisons-d-apparition-d-erreurs-stables-chez-les-eleves-de-troisieme-sur-un-sous-domaine-du-calcul-litteral-la-factorisation.html Erreurs dans la factorisation]
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Définition écrite

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Blue-circle-target.png Définition niveau de formulation élémentaire:

  • Une équation est une égalité dans laquelle il y a une ou plusieurs inconnues (généralité des équations).
  • Une équation du premier degré est donc une équation à une inconnue (degrés de l'équation).
  • Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution (propriété).
*On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation qui peut s'écrire sous la forme ax + b = cx + d 
où a, b, c et d sont des nombres tels que a ≠ b. (Propriété : Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution.)
  • L'équation ax+b=0, où a est un réel non nul, b est un réel et x est l'inconnue, est appelée équation du premier degré à une inconnue.
L'équation est dite du premier degré car l'exposant de l'inconnue est 1.
Exemples:
x+1=0  ; 2x+6=0  ; x-2=0  ; 2x-5=0  ; x/2 +5/3=0
  • x0 est dite solution de l'équation ax+b=0 si et seulement si ax0+b=0
Exemples: 
2 est solution de l'équation x-2=0 car en remplaçant x par 2 dans l'équation, l'égalité est vérifiée: 2-2=0 ;
-3 est solution de l'équation 2x+6=0 car en remplaçant x par -3 dans l'équation, l'égalité est vérifiée.


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  • Deux équations sont dites équivalentes sur un ensemble si elles ont le même ensemble de solutions sur cet ensemble.
Exemple: Les deux équations x-1=0 et 2x-2=0 sont équivalentes sur R car 1 est solution de l'équation x-1=0 et
1 est solution de l'équation 2x-2=0.

More-didaquest.png Equations du Premier Degré à une Inconnue - Historique (+)


Définition graphique


Ing-connaissance.png Carte conceptuelle : Equation 1er degré - 1 inconnue



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  • Résolution Algebrique d'une Equation du Premier Degré

  • Exemples


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{{{AutresMedias}}}


Puce-didaquest.png Concepts ou notions associés


More-didaquest.png Equations du Premier Degré à une Inconnue - Glossaire / (+)



Puce-didaquest.png Exemples, applications, utilisations

  • Résoudre l'équation x+1=0
Réponse:En revenant à la définition, l'équation ax+b=0. a comme solution, si a différent de 0, x=-b/a
Dans notre cas a=1 et b=1 d'où x=-1/1=-1 est solution de l'équation x+1=0.

Vérification: x+1=-1+1=0
  • Résoudre l'équation x-1=0
Réponse: L'équation x-1=0 s'écrit x+(-1)=0
En revenant à la définition, dans l'équation x+(-1)=0, on a:
a=1 et b=-1 d'où x=-(-1)/1=1/1=1

Vérification:x-1=1-1=0
  • Résoudre l'équation 2x+3=0
Réponse:En revenant à la définition, dans l'équation 2x+3=0, on a:
a=2 et b=3 d'où x=-3/2

Vérification: 2x+3=2x(-3/2)+3=-3+3=0
  • Résoudre l'équation x+6=4
Réponse:Dans ce cas, on ramène cette équation à une équation équivalente à ax+b=0
d'où en appliquant la propriété qui consiste à rajouter l'opposé de 4 aux deux membres
de l'équation, on obtient x+6+(-4)=4+(-4) équivaut à x+6-4=0
donc x+2=0 
d'où en revenant à la définition , dans l'équation x+2=0, on a:
a=1 et b=2 d'où x=-2/1=-2

Vérification:x+6=(-2)+6=4
  • Résoudre 3x-1=2x+4
Réponse:
1ere étape: on regroupe tous les termes à  gauche du signe égal et en appliquant la règle
qui consiste à changer le signe des termes du membre à droite en leur opposé:
3x-1 +(-(2x+4))=2x+4+(-(2x+4)) d'où 3x-1-(2x+4)=0 car un nombre ajouté à son opposé=0
d'où 3x-1-(2x+4)=0

2ème étape: on développe et on simplifie, on obtient alors: 3x-1-2x-4=0 d'où 3x-2x-1-4=0
d'où x-5=0

3ème étape:En revenant à la définition, dans l'équation x-5=0 qui est équivalente à x+(-5)=0, on a:
a=1 et b=-5 d'où x=-(-5)/1=5

Vérification:3x-1=3x(5)-1=15-1=14 d'une part et 2x+4=2x(5)+4=10+4=14 d'autre part

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Puce-didaquest.png Erreurs ou confusions éventuelles

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Blue-circle-target.png Erreur: Croire que

  • E(x)=3(x-1) équivaut à E(x)=3x-1 et ce, suite au développement de 3(x-1) pour donner E(x)=3x-1
Ce qui est non conforme à la règle suivante: a(b-c)=ab-ac.
Aussi, en appliquant la règle susvisée pour a=3; b=x et c=1 on obtient alors 3(x-1)=3x-3 d'où E(x)=3x-3
  • Résoudre l'équation 4x-3=0 donne x=-3/4
L'application correcte de la formule (ax+b=0 donne x=-b/a) exige la réécriture de l'équation 4x-3=0 comme suit:
4x+(-3)=0 avec a=4 et b=-3 d'où x=-(-3)/4 équivaut à x=3/4
Vérification: 4 (3/4) - 3= 12/4-3=3-3=0.
  • Vérifier si le nombre 2 est une solution de l'équation 3x+2=8, revient à résoudre à cette équation.
Aussi, il suffit de remplacer x par 2 dans le premier membre de l'équation (3x+2) puis vérifier l'égalité avec le second membre (=8)
On obtient 3 x 2 + 2 = 6 + 2 = 8 d'où l'égalité est vérifiée entre les deux membres de l'équation d'où 2 est une solution de l'équation 3x+2=8


Blue-circle-target.png Confusion possible ou glissement de sens

  • L'équation de type ax = 0 : c'est un cas trivial paradoxalement mal résolu au collège où l'on rencontre trop souvent la réponse x= - a,
confusion classique avec l'équation x + a = 0.
La solution de l'équation ax = 0 (a non nul) est x= 0 car il s'agit là d'un produit nul a x x= 0 et a étant non nul, x l'est nécessairement.
Donc, par exemple, la résolution de l'équation 2x=0 donne x=0.
  • Confusion lors de la résolution de l'équation 6+x=−12
Pour la résoudre, il suffirait de transposer le terme 6 c'est à dire de le faire passer dans le membre de droite en le changeant de signe !
Mais non ! Certains élèves encore écrivent x=−12/6 Ce qui est faux ! 
Ils n'ont pas fait attention que x n'est pas multiplié par 6 mais que l'on ajoute 6 à x.
  • Confusion entre les équations avec une addition et celles avec une multiplication.
Exemple: 6x=−12 et 6+x=−12
Or en comparant les solutions de ces deux équations :
6x=−12 donne x=-12/6=-2
Par contre 6+x=−12 donne x=-12-=-18


Blue-circle-target.png Erreur fréquente:

  • Changement de terme d'une équation d'un membre à l'autre sans changer de signe
  • La conception "la solution de l'équation "opposée" est l'opposée de la solution de l'équation initiale".
Exemple: Soient les deux équations opposées 3x-9=0 et -3x+9=0 donc elles ont la même solution x=3 et non pas de solutions opposées.
  • La solution de l'équation ax+b=10 donne x=10 , ce qui est faux.
Exemple: x+6=10 donne x=4 et non x=10
  • La simplification par x dans l'équation 2x=x donne x=2 ce qui est faux car la simplification exige dans ce cas x différent de 0.
D'où 2x=x équivaut à 2x-x=0 donne x=0

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Puce-didaquest.png Questions possibles



Puce-didaquest.png Liaisons enseignements et programmes

Idées ou Réflexions liées à son enseignement

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  • Appliquer la règle fondamentale de manipulation des équations du premier degré:
 On ne change pas la solution d'une équation du premier degré en appliquant la même 
 transformation réversible à ses deux termes.
  • Se rappeler de la notion de distributivité:a(b+c)=ab+ac ; a(b-c)=ab-ac; (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
  • Attention à la division par 0, c'est une opération impossible donc à éviter.
  • Faire transmettre aux premiers responsables, les résultats et les outputs des travaux

(+)



Aides et astuces

Emblem-important-blue.svg
  • Développer, simplifier et ramener l'expression à la forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue
 et en fin résoudre l'équation en se référant à la formule (ax+b=0 donne comme solution x=-b/a).
  • Astuces pour résoudre une équation du premier degré:
-Astuce1.Possible de se contenter de deux opérations : l’addition et la multiplication. En effet, une soustraction est simplement un addition par l’opposé et 
 une division est une multiplication par l’inverse. Par exemple, soustraire 6, c’est ajouter (-6) et diviser par 7, c’est multiplier par 1/7.
-Astuce 2.Regrouper tous les termes du même côté, le terme de droite restant égal à 0.
-Astuce 3.Il est possible de supprimer les parenthèses grâce à la distributivité.
  • Lors de la mise en équation d'un problème, il est conseillé de suivre les étapes suivantes:
 -Choix de l'inconnue
 -Mise en équation du problème
 -Résolution de l'équation
 -Interprétation du résultat
 -Conclusion et prévision
  • Veuillez toujours à vérifier la solution proposée.



Education: Autres liens, sites ou portails




Puce-didaquest.png Bibliographie

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Pour citer cette page: (du Premier Degré à une Inconnue) 

ABROUGUI, M & al, 2023. Equations du Premier Degré à une Inconnue. In Didaquest [en ligne]. <http:www.didaquest.org/wiki/Equations_du_Premier_Degr%C3%A9_%C3%A0_une_Inconnue>, consulté le 18, décembre, 2024
  • Manuel scolaire Mathématiques 1ere année secondaire (Tunisie)
  • Manuel scolaire Mathématiques 2eme année secondaire (Tunisie)


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