Equations du Premier Degré à une Inconnue
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Traduction
Equations du Premier Degré à une Inconnue (Français)
/ First Degree Equation with One Unknown (Anglais)
/ معادلات درجة أولى لمتغير واحد (Arabe)
Traductions
Définition
Domaine, Discipline, Thématique
Justification
Définition écrite
Définition niveau de formulation élémentaire:
- Une équation est une égalité dans laquelle il y a une ou plusieurs inconnues (généralité des équations).
- Une équation du premier degré est donc une équation à une inconnue (degrés de l'équation).
- Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution (propriété).
*On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation qui peut s'écrire sous la forme ax + b = cx + d où a, b, c et d sont des nombres tels que a ≠ b. (Propriété : Une équation du premier degré à une inconnue admet une unique solution.)
- L'équation ax+b=0, où a est un réel non nul, b est un réel et x est l'inconnue, est appelée équation du premier degré à une inconnue.
L'équation est dite du premier degré car l'exposant de l'inconnue est 1. Exemples: x+1=0 ; 2x+6=0 ; x-2=0 ; 2x-5=0 ; x/2 +5/3=0
- x0 est dite solution de l'équation ax+b=0 si et seulement si ax0+b=0
Exemples: 2 est solution de l'équation x-2=0 car en remplaçant x par 2 dans l'équation, l'égalité est vérifiée: 2-2=0 ; -3 est solution de l'équation 2x+6=0 car en remplaçant x par -3 dans l'équation, l'égalité est vérifiée.
Exemple: Les deux équations x-1=0 et 2x-2=0 sont équivalentes sur R car 1 est solution de l'équation x-1=0 et 1 est solution de l'équation 2x-2=0. |
Equations du Premier Degré à une Inconnue - Historique (+)
Définition graphique
Carte conceptuelle : Equation 1er degré - 1 inconnue
Résolution Algebrique d'une Equation du Premier Degré
Exemples
{{{AutresMedias}}}
Concepts ou notions associés
Equations du Premier Degré à une Inconnue - Glossaire / (+)
Exemples, applications, utilisations
Réponse:En revenant à la définition, l'équation ax+b=0. a comme solution, si a différent de 0, x=-b/a Dans notre cas a=1 et b=1 d'où x=-1/1=-1 est solution de l'équation x+1=0. Vérification: x+1=-1+1=0
Réponse: L'équation x-1=0 s'écrit x+(-1)=0 En revenant à la définition, dans l'équation x+(-1)=0, on a: a=1 et b=-1 d'où x=-(-1)/1=1/1=1 Vérification:x-1=1-1=0
Réponse:En revenant à la définition, dans l'équation 2x+3=0, on a: a=2 et b=3 d'où x=-3/2 Vérification: 2x+3=2x(-3/2)+3=-3+3=0
Réponse:Dans ce cas, on ramène cette équation à une équation équivalente à ax+b=0 d'où en appliquant la propriété qui consiste à rajouter l'opposé de 4 aux deux membres de l'équation, on obtient x+6+(-4)=4+(-4) équivaut à x+6-4=0 donc x+2=0 d'où en revenant à la définition , dans l'équation x+2=0, on a: a=1 et b=2 d'où x=-2/1=-2 Vérification:x+6=(-2)+6=4
Réponse: 1ere étape: on regroupe tous les termes à gauche du signe égal et en appliquant la règle qui consiste à changer le signe des termes du membre à droite en leur opposé: 3x-1 +(-(2x+4))=2x+4+(-(2x+4)) d'où 3x-1-(2x+4)=0 car un nombre ajouté à son opposé=0 d'où 3x-1-(2x+4)=0 2ème étape: on développe et on simplifie, on obtient alors: 3x-1-2x-4=0 d'où 3x-2x-1-4=0 d'où x-5=0 3ème étape:En revenant à la définition, dans l'équation x-5=0 qui est équivalente à x+(-5)=0, on a: a=1 et b=-5 d'où x=-(-5)/1=5 Vérification:3x-1=3x(5)-1=15-1=14 d'une part et 2x+4=2x(5)+4=10+4=14 d'autre part |
Erreurs ou confusions éventuelles
Erreur: Croire que
- E(x)=3(x-1) équivaut à E(x)=3x-1 et ce, suite au développement de 3(x-1) pour donner E(x)=3x-1
Ce qui est non conforme à la règle suivante: a(b-c)=ab-ac. Aussi, en appliquant la règle susvisée pour a=3; b=x et c=1 on obtient alors 3(x-1)=3x-3 d'où E(x)=3x-3
- Résoudre l'équation 4x-3=0 donne x=-3/4
L'application correcte de la formule (ax+b=0 donne x=-b/a) exige la réécriture de l'équation 4x-3=0 comme suit: 4x+(-3)=0 avec a=4 et b=-3 d'où x=-(-3)/4 équivaut à x=3/4 Vérification: 4 (3/4) - 3= 12/4-3=3-3=0.
- Vérifier si le nombre 2 est une solution de l'équation 3x+2=8, revient à résoudre à cette équation.
Aussi, il suffit de remplacer x par 2 dans le premier membre de l'équation (3x+2) puis vérifier l'égalité avec le second membre (=8) On obtient 3 x 2 + 2 = 6 + 2 = 8 d'où l'égalité est vérifiée entre les deux membres de l'équation d'où 2 est une solution de l'équation 3x+2=8
Confusion possible ou glissement de sens
- L'équation de type ax = 0 : c'est un cas trivial paradoxalement mal résolu au collège où l'on rencontre trop souvent la réponse x= - a,
confusion classique avec l'équation x + a = 0. La solution de l'équation ax = 0 (a non nul) est x= 0 car il s'agit là d'un produit nul a x x= 0 et a étant non nul, x l'est nécessairement. Donc, par exemple, la résolution de l'équation 2x=0 donne x=0.
- Confusion lors de la résolution de l'équation 6+x=−12
Pour la résoudre, il suffirait de transposer le terme 6 c'est à dire de le faire passer dans le membre de droite en le changeant de signe ! Mais non ! Certains élèves encore écrivent x=−12/6 Ce qui est faux ! Ils n'ont pas fait attention que x n'est pas multiplié par 6 mais que l'on ajoute 6 à x.
- Confusion entre les équations avec une addition et celles avec une multiplication.
Exemple: 6x=−12 et 6+x=−12 Or en comparant les solutions de ces deux équations : 6x=−12 donne x=-12/6=-2 Par contre 6+x=−12 donne x=-12-=-18
Erreur fréquente:
- Changement de terme d'une équation d'un membre à l'autre sans changer de signe
- La conception "la solution de l'équation "opposée" est l'opposée de la solution de l'équation initiale".
Exemple: Soient les deux équations opposées 3x-9=0 et -3x+9=0 donc elles ont la même solution x=3 et non pas de solutions opposées.
- La solution de l'équation ax+b=10 donne x=10 , ce qui est faux.
Exemple: x+6=10 donne x=4 et non x=10
- La simplification par x dans l'équation 2x=x donne x=2 ce qui est faux car la simplification exige dans ce cas x différent de 0.
D'où 2x=x équivaut à 2x-x=0 donne x=0
Questions possibles
Liaisons enseignements et programmes
Idées ou Réflexions liées à son enseignement
- Appliquer la règle fondamentale de manipulation des équations du premier degré:
On ne change pas la solution d'une équation du premier degré en appliquant la même transformation réversible à ses deux termes.
- Se rappeler de la notion de distributivité:a(b+c)=ab+ac ; a(b-c)=ab-ac; (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
- Attention à la division par 0, c'est une opération impossible donc à éviter.
- Faire transmettre aux premiers responsables, les résultats et les outputs des travaux
Aides et astuces
- Développer, simplifier et ramener l'expression à la forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue
et en fin résoudre l'équation en se référant à la formule (ax+b=0 donne comme solution x=-b/a).
- Astuces pour résoudre une équation du premier degré:
-Astuce1.Possible de se contenter de deux opérations : l’addition et la multiplication. En effet, une soustraction est simplement un addition par l’opposé et
une division est une multiplication par l’inverse. Par exemple, soustraire 6, c’est ajouter (-6) et diviser par 7, c’est multiplier par 1/7.
-Astuce 2.Regrouper tous les termes du même côté, le terme de droite restant égal à 0.
-Astuce 3.Il est possible de supprimer les parenthèses grâce à la distributivité.
- Lors de la mise en équation d'un problème, il est conseillé de suivre les étapes suivantes:
-Choix de l'inconnue -Mise en équation du problème -Résolution de l'équation -Interprétation du résultat -Conclusion et prévision
- Veuillez toujours à vérifier la solution proposée.
Education: Autres liens, sites ou portails
Bibliographie
Pour citer cette page: (du Premier Degré à une Inconnue)
ABROUGUI, M & al, 2023. Equations du Premier Degré à une Inconnue. In Didaquest [en ligne]. <http:www.didaquest.org/wiki/Equations_du_Premier_Degr%C3%A9_%C3%A0_une_Inconnue>, consulté le 28, avril, 2024
- Manuel scolaire Mathématiques 1ere année secondaire (Tunisie)
- Manuel scolaire Mathématiques 2eme année secondaire (Tunisie)
