Addition et multiplication en algébre

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Traduction

Addition et multiplication en algèbre (Français) / Addition and multiplication in algebra (Anglais) / جمع و ضرب عبارات جبرية (Arabe)

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Traductions

Définition

Domaine, Discipline, Thématique

Mathématique, Algèbre, Addition et Multiplication / .......... / .......... / .......... / .......... / ....... / ....... / ....... / ....... / .......

Définition écrite

• Aujourd’hui, on introduit la notion de « groupe » dans les cours d’algèbre comme un ensemble d’éléments sur lesquels on peut effectuer une opération. On peut penser à un ensemble de nombres avec, comme opération, l’addition ou la multiplication, ou encore à un ensemble de fonctions pour lequel l’opération serait la composition. Par exemple, l’ensemble des entiers relatifs avec l’addition comme opération est un groupe, car il vérifie les quatre règles qui définissent un groupe

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La première règle est simple : c’est qu’on doit rester dans l’ensemble lorsqu’on effectue l’opération. la seconde règle, on peut, si l’on doit opérer sur plus de trois éléments, travailler de proche en proche comme on veut, du moment qu’on ne modifie pas l’ordre des éléments(l'associativité). la troisième règle est l'existence d'un élément neutre.(0 pour l'addition et 1 pour la multiplication) la quatrième règle, on doit toujours pouvoir faire marche arrière.(il suffit de faire la somme de n’importe quel entier relatif et de son opposé pour trouver 0)

Addition et multiplication en algébre - Historique (+)

Définition graphique

• 

  Les manipulations possibles du cube de Rubik forment un groupe.

• 

  Rotation(les groupes ont des applications géométriques.)

• 

  Groupe

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Concepts ou notions associés

groupe / loi de composition interne / élément neutre / élément symétrique / Algèbre

Exemples, applications, utilisations

Par exemple, l'addition(+) est une loi de composition interne sur R et le groupe est (R,+). L'élément neutre est 0. De même, (Z,+), (Q,+) et (C,+) sont des groupes On peut noter que N n'est pas un groupe ni pour l'addition (ses éléments n'ont pas d'opposés), ni pour la multiplication (ses éléments sont entiers). (+)

Erreurs ou confusions éventuelles

• Confusion entre inverse et opposé.
• On ne vérifie pas que l'ensemble est muni d'une loi de composition interne.

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Questions possibles

• c'est quoi un groupe?
• Est ce que l'ensemble des entiers naturels muni de l'addition est un groupe ?

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Liaisons enseignements et programmes

Education: Liens, sites et portails

• URL :

• http://www.afkw.org/pythagore/concepts/additionetmultiplicationalgebre.pdf

Difficultés liées à son enseignement

• Unicité de l'élément neutre et des symétriques.
• Morphisme de groupes.
• Groupe quotient

Aides et astuces

• Multiplication des monômes et polynômes
• Addition et soustraction

Bibliographie

• Club Pythagore, 2007