Les triangles

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Un triangle est une figure géométrique plane qui se compose de trois points appelés sommets, reliés par trois segments de droite appelés côtés. Voici une définition détaillée d'un triangle en tenant compte des concepts précédemment discutés :

• Sommets (Vertices) : Un triangle a exactement trois sommets, qui sont des points où deux côtés se rencontrent. Les sommets sont généralement étiquetés par des lettres majuscules A, B et C.

• Côtés (Sides) : Un triangle est défini par ses trois côtés, qui sont les segments de droite reliant les sommets. Les côtés sont généralement étiquetés par les lettres minuscules a, b et c. Le côté opposé au sommet A est généralement appelé "côté a", le côté opposé au sommet B est appelé "côté b", et le côté opposé au sommet C est appelé "côté c".

• Angles (Angles) : Chaque sommet d'un triangle forme un angle. Les angles sont généralement étiquetés en utilisant des lettres grecques, telles que α (alpha) pour l'angle au sommet A, β (bêta) pour l'angle au sommet B, et γ (gamma) pour l'angle au sommet C.

• Types de triangles (Types of Triangles) : Les triangles peuvent être classés en fonction de leurs côtés et de leurs angles :

• • Triangle équilatéral : Les trois côtés et les trois angles sont égaux.
  • Triangle isocèle : Deux côtés et deux angles sont égaux.
  • Triangle scalène : Les trois côtés et les trois angles sont tous différents.
  • Triangle rectangle : L'un des angles est un angle droit (90 degrés).
• Propriétés (Properties) : Les triangles ont des propriétés géométriques importantes, notamment le théorème de Pythagore pour les triangles rectangles, les théorèmes des médianes et des bissectrices, les règles de l'inégalité triangulaire, et les lois des sinus et des cosinus pour les triangles quelconques.

• Calcul de l'aire (Area Calculation) : L'aire d'un triangle peut être calculée de plusieurs manières, notamment en utilisant la formule de base x hauteur / 2, la formule d'Héron pour les triangles quelconques, ou en utilisant la trigonométrie pour les triangles rectangles.

• Applications (Applications) : Les triangles sont largement utilisés dans de nombreux domaines, notamment les mathématiques, la géométrie, la trigonométrie, la physique, l'ingénierie, la cartographie, l'art, l'architecture, et bien d'autres.

Un triangle est une figure géométrique constituée de trois sommets reliés par trois côtés, avec des propriétés et des classifications basées sur les longueurs de ses côtés et les mesures de ses angles. Les triangles ont une grande importance dans de nombreuses disciplines et sont étudiés en détail pour comprendre leurs propriétés et leurs applications.

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Les triangles - Historique (+)

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• L'hypoténuse d'un triangle est le côté le plus long de ce triangle, et il est opposé à l'angle droit (si le triangle est un triangle rectangle, c'est-à-dire un triangle qui a un angle égal à 90 degrés). Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté situé en face de l'angle droit, et les deux autres côtés sont appelés les côtés adjacents et opposés.
• Sommet Dans un triangle un sommet est l'endroit où deux côtés du triangle se rencontrent. Un triangle a toujours trois sommets, et chacun d'eux est formé par l'intersection de deux côtés adjacents. Les sommets sont souvent nommés en utilisant des lettres majuscules, généralement les premières lettres des points ou des variables qui représentent ces points.Par exemple, si les trois côtés d'un triangle sont AB,BC, et CA, alors les sommets seraient A, B, et C. Le sommet A est formé par l'intersection des côtés BC et CA, le sommet B est formé par l'intersection des côtés CA et AB, et le sommet C est formé par l'intersection des côtés AB et BC.Il est important de noter que les sommets d'un triangle déterminent également les angles du triangle. Par exemple, l'angle formé par les côtés AB et BC au sommet B est l'angle ABC.
• Vertex:"Vertex" est le terme anglais équivalent à "sommet" en français lorsqu'on parle de triangles. Donc, si on parle du "vertex d'un triangle", cela se réfère au sommet du triangle, l'endroit où deux côtés du triangle se rencontrent.Par exemple, si vous avez un triangle avec des côtés AB, BC, et CA, les sommets seraient A, B, et C. Chacun de ces sommets est également appelé un "vertex" dans le contexte géométrique.
• Base Dans un triangle la notion de "base" dépend du contexte spécifique dans lequel vous l'utilisez. Généralement, le terme "base" est associé à un triangle particulier souvent un triangle rectangle ou isocèle. Voici comment la base peut être définie dans ces contextes :
  • [Triangle Rectangle] :

Dans un triangle rectangle (c'est-à-dire un triangle qui a un angle droit), la base est généralement considérée comme le côté sur lequel repose le triangle. C'est le côté opposé à l'angle droit. Les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les côtés de la base.

• • [Triangle Isocèle] :

Dans un triangle isocèle (c'est-à-dire un triangle avec au moins deux côtés de même longueur), la base est souvent considérée comme le côté qui n'est pas égal aux deux autres. Les côtés égaux sont appelés les côtés de base. Il est important de noter que dans un triangle quelconque, sans autre spécification, le terme "base" peut ne pas être aussi clairement défini. Le choix de la base dépend souvent du contexte ou de la manière dont le triangle est utilisé dans un problème ou une situation particulière.

• Altitude

L'altitude d'un triangle est une droite perpendiculaire à l'un de ses côtés, et elle passe par le sommet opposé à ce côté. En d'autres termes, l'altitude relie un sommet du triangle au côté opposé de manière perpendiculaire.Il existe trois altitudes dans un triangle, chacune associée à l'un des trois côtés. Les points d'intersection des altitudes avec les côtés peuvent être utilisés pour former des segments appelés hauteurs du triangle. Lorsqu'une altitude est tracée depuis un sommet d'un triangle, elle divise ce triangle en deux triangles plus petits, qui peuvent ou non être des triangles rectangles. Les propriétés des triangles obtenus à partir de l'altitude sont souvent utilisées dans la résolution de problèmes géométriques et dans les démonstrations mathématiques.Il est important de noter que l'altitude peut également être appelée hauteur dans certains contextes, en particulier lorsque l'on considère la longueur de la ligne perpendiculaire du sommet au côté opposé.

• Médiane

Une médiane d'un triangle est un segment de droite qui relie un sommet du triangle au point moyen (milieu) du côté opposé. Chaque triangle a trois médianes, une émanant de chaque sommet. Les trois médianes d'un triangle se croisent toujours en un point appelé le centre de masse ou le centre de gravité du triangle. Pour trouver le point d'intersection des médianes (le centre de gravité), vous pouvez prendre chaque paire de sommets opposés et tracer le segment de droite qui relie le sommet au milieu du côté opposé. L'intersection de ces trois segments est le centre de gravité.Les médianes ont certaines propriétés intéressantes.Les médianes se croisent toujours au centre de gravité du triangle.Chaque médiane divise le triangle en deux triangles de même aire.Le rapport dans lequel une médiane divise l'autre est 2:1. En d'autres termes, si G est le centre de gravité et M est le milieu du côté opposé, alors GM est deux fois plus long que MG.Les médianes sont largement utilisées dans la géométrie pour déterminer des points importants dans un triangle et pour résoudre divers problèmesgéométriques.

• Bissectrice

La bissectrice d'un angle dans un triangle est une droite ou un segment de droite qui divise cet angle en deux angles égaux ou de même mesure. Chaque angle d'un triangle a une bissectrice, et il y a trois bissectrices dans un triangle, une pour chaque angle.Les propriétés importantes des bissectrices dans un triangle incluent :Intersection en un point : Les trois bissectrices d'un triangle se croisent toujours en un point appelé le centre du cercle inscrit, qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.Divise le côté opposé : Chaque bissectrice divise le côté opposé au sommet dont elle émane en segments proportionnels aux côtés adjacents. En d'autres termes, si une bissectrice émane du sommet A et coupe le côté opposé BC en D, alors BD/CD = AB/AC. Les bissectrices sont souvent utilisées dans des problèmes géométriques et dans la détermination de points importants dans un triangle, comme le centre du cercle inscrit. Ces propriétés sont connues sous le nom de propriétés de la bissectrice intérieure d'un triangle. Il existe également des bissectrices extérieures, mais elles sont moins couramment utilisées.

• Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus fondamentaux en géométrie, et il s'applique aux triangles rectangles. Il énonce la relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Voici la formulation du théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, appelés les côtés de l'angle droit. Mathématiquement, cela peut être exprimé comme suit : C²=A²+B² où : C est la longueur de l'hypoténuse,A et B sont les longueurs des côtés de l'angle droit. Ce théorème est très utilisé pour résoudre des problèmes impliquant des triangles rectangles et pour vérifier si un triangle est effectivement rectangle. Il a des applications pratiques dans de nombreux domaines, y compris la trigonométrie et la résolution de problèmes liés à la distance et aux mesures dans l'espace.

• Trigonométrie

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les côtés des triangles. Elle est largement utilisée pour résoudre des problèmes liés aux triangles, en particulier dans le contexte des triangles rectangles. Voici quelques concepts clés de la trigonométrie liés aux triangles :

• • [Les Rapports Trigonométriques dans un Triangle Rectangle] :

Dans un triangle rectangle, les principaux rapports trigonométriques sont définis en utilisant les côtés du triangle. Soient A, B, et C les longueurs des côtés du triangle rectangle, où C est l'hypoténuse, A est le côté adjacent à un angle, et B est le côté opposé à cet angle : sin(θ)= B/C(sinus),cos(θ)= A/C(cosinus),tan(θ)= B/A (tangente).

• • [Identités Trigonométriques]

Les identités trigonométriques sont des équations qui établissent des relations entre les fonctions trigonométriques. Par exemple, la plus célèbre est l'identité de Pythagore : Sin²(θ)+cos²(θ)=1 qui découle du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle.Les Fonctions Trigonométriques Inverses : Les fonctions trigonométriques inverses (sin-1 , cos −1, 1tan −1, etc.) sont utilisées pour trouver les angles d'un triangle en fonction des longueurs de ses côtés.

• • Loi des sinus et Loi des cosinus

Ces lois sont utilisées pour résoudre des triangles quelconques, pas seulement les triangles rectangles.

• • • • • La Loi des sinus A/sin(A)=B/sin(B)=C/sin(C)
        • La Loi des cosinus : C²=A²+B²-2ABcos(C)

(ou d'autres formulations similaires). La trigonométrie est un outil puissant pour résoudre une variété de problèmes géométriques, notamment ceux liés aux triangles.

• Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un type particulier de triangle dans lequel les trois côtés ont la même longueur et tous les angles sont égaux. Plus précisément, dans un triangle équilatéral :

• Longueurs des côtés : Les trois côtés, notés généralement A,B et C, ont la même longueur. On peut également noter cela comme A=B=C.
• Angles : Les trois angles internes sont tous égaux à 60 degrés. Chacun des angles intérieurs du triangle équilatéral mesure 60 degrés, ce qui donne un total de 180 degrés pour l'ensemble des angles du triangle.
• Un moyen de reconnaître un triangle équilatéral est de vérifier la symétrie. Si un triangle a une symétrie de rotation de 120 degrés, il est équilatéral.

Les propriétés du triangle équilatéral simplifient de nombreux calculs et constructions géométriques. Par exemple, dans un triangle équilatéral, les médianes, les hauteurs et les bissectrices sont toutes superposables et se confondent. De plus, le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral est également le centre de gravité et l'orthocentre. Ces propriétés font du triangle équilatéral un objet géométrique intéressant et souvent utilisé dans divers contextes mathématiques et scientifiques.

• Triangle isocèle

Un triangle isocèle est un type de triangle dans lequel au moins deux côtés ont la même longueur. Cela signifie que deux des trois côtés du triangle sont égaux entre eux. Ces côtés égaux sont appelés les côtés isocèles, et le troisième côté est appelé le côté non isocèle. En plus de la différence de longueur entre les côtés, un triangle isocèle peut également présenter certaines symétries. Par exemple, les angles opposés aux côtés isocèles sont égaux. Cela signifie que si AB=AC, alors l'angle opposé au côté AB (angle à C) est égal à l'angle opposé au côté AC (angle à B). Les propriétés d'un triangle isocèle peuvent être utilisées pour simplifier les calculs et les constructions géométriques. Par exemple, les médianes d'un triangle isocèle provenant des sommets opposés aux côtés égaux sont également des bissectrices et des hauteurs du triangle. La bissectrice issue du sommet opposé au côté non isocèle divise également l'angle en deux angles égaux. Dans un triangle isocèle : Au moins deux côtés ont la même longueur. Les angles opposés aux côtés isocèles sont égaux. Les médianes, hauteurs et bissectrices spécifiques ont des propriétés particulières dans un triangle isocèle. Triangle rectangle Un triangle rectangle est un type particulier de triangle qui possède un angle droit, c'est-à-dire un angle mesurant exactement 90 degrés. En d'autres termes, un triangle rectangle a un côté qui est perpendiculaire à un autre côté, formant ainsi un angle droit.Les côtés qui forment l'angle droit sont appelés les côtés de l'angle droit, et le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse. On peut utiliser le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle pour décrire la relation entre les longueurs de ses côtés :C²=A²+ B² où :C est la longueur de l'hypoténuse,A et B sont les longueurs des côtés de l'angle droit. Les triangles rectangles sont particulièrement importants en trigonométrie, où les fonctions trigonométriques telles que le sinus, le cosinus et la tangente sont définies en fonction des rapports entre les côtés d'un triangle rectangle. Les côtés adjacents à un angle dans un triangle rectangle sont utilisés pour définir le cosinus, les côtés opposés définissent le sinus, et le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent donne la tangente de l'angle. Théorème de l'aire Il n'y a pas un seul "théorème de l'aire dans un triangle" unique, car il existe plusieurs formules pour calculer l'aire d'un triangle en fonction de ses côtés et de ses angles. Voici les formules utilisées pour calculer l'aire d'un triangle :

• • Formule de l'aire d'un triangle à partir de la base et de la hauteur :

Aire=1/2×Base×Hauteur

• • Formule de l'aire d'un triangle à partir des côtés (formule de Heron) :

Si A, B, et C sont les longueurs des côtés d'un triangle, et S est le demi-périmètre (c'est-à-dire S= 1/2(a+b+c), alors l'aire (A) peut être calculée avec la formule de Heron :A=racine de[S⋅(S−A)⋅(S−B)⋅(S−C)].

• • Formule de l'aire d'un triangle à partir de deux côtés et de l'angle entre eux :

Si A et B sont les longueurs de deux côtés d'un triangle et θ est l'angle entre ces côtés, alors l'aire (A) peut être calculée avec la formule A=1/2×A×B×sin(θ) Il est important de choisir la formule appropriée en fonction des informations dont vous disposez sur le triangle (base et hauteur, côtés, angles, etc.). Les différentes formules offrent une flexibilité pour calculer l'aire en fonction des données disponibles. |Mot-Clé-14= Théorème des angles d'un triangle |Mot-Clé-15= Théorème de l'angle extérieur |Mot-Clé-16= Théorème de la médiane |Mot-Clé-17= Théorème de la bissectrice |Mot-Clé-18= Géométrie du triangle |Mot-Clé-19= Triangulation |Mot-Clé-20= Transformation de similitude |Mot-Clé-21= Sphère trigonométrique |Mot-Clé-22= Théorème de l'inégalité triangulaire |Mot-Clé-23= Triangle scalène |Mot-Clé-24= Triangle obtusangle |Mot-Clé-25= Triangle acutangle |Mot-Clé-26= Théorème d'Héron |Mot-Clé-27= Triangle de Pascal |Mot-Clé-28= Centre de gravité (centroïde) |Mot-Clé-29= Théorème de l'angle inscrit |Mot-Clé-30= Triangle de Sierpinski |Mot-Clé-31= Triangle de Penrose |Mot-Clé-32= Triangle aplati

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Exemples, applications, utilisations

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Erreurs ou confusions éventuelles

Erreur: Croire que

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Confusion possible ou glissement de sens

• Confusion entre la Base - Altitude
• Confusion entre la Bissectrice - Médiane
• Confusion entre lesCôtés - Angles correspondants
• Confusion entre lesCôtés - Angles
• Confusion entre les types de triangles Equilatéral- Isocèle Scalène
• Confusion entre les différentes formules de calcul de l'aire d'un triangle.
• Confusion entre le Théorème de l'angle extérieur - Théorème de l'angle intérieur
• Confusion entre la Somme des angles d'un triangle - Somme des angles d'un quadrilatère
• Confusion entre les Côtés opposés - Côtés adjacents dans les triangles rectangles.
• Confusion entre la Hauteur - Longueur d'un côté dans le calcul de l'aire.
• Confusion entre la Trigonométrie dans un triangle rectangle - Trigonométrie dans un triangle quelconque
• Confusion entre les termes Hypoténus - Côté adjacent dans un triangle rectangle.
• Confusion entre les concepts de Triangle semblable - Triangle congruent (identique)
• Confusion entre les théorèmes de Angle opposé - Angle adjacent dans la trigonométrie.
• Confusion entre les notations de Côtés - Angles dans un triangle (utilisation incorrecte de lettres comme a, b, c pour les côtés et A, B, C pour les *angles).
• Confusion dans l'application de la règle de l'inégalité triangulaire.
• Confusion entre les termes Côté adjacent - Côté opposé dans les fonctions trigonométriques.
• Confusion dans la classification des triangles selon leurs angles Obtus- Droit -Aigu et selon leurs côtés Scalène- Isocèle- Equilatéral
• Confusion entre le périmètre - Aire d'un triangle.
• Confusion dans l'utilisation des fonctions trigonométriques Sinus - Cosinus -Tangente dans des contextes différents.
• Confusion dans l'application du théorème de l'angle inscrit dans le cas de triangles inscrits dans des cercles.

Erreur fréquente:

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Questions possibles

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Liaisons enseignements et programmes

Idées ou Réflexions liées à son enseignement

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Aides et astuces

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Education: Autres liens, sites ou portails

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Bibliographie

Pour citer cette page: (triangles)

ABROUGUI, M & al, 2023. Les triangles. In Didaquest [en ligne]. <http:www.didaquest.org/wiki/Les_triangles>, consulté le 21, novembre, 2024

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