Rotations du plan

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Définition écrite

Définition détaillée des rotations du plan : Une rotation du plan est une transformation géométrique qui fait tourner tous les points du plan autour d’un point fixe, appelé centre de rotation, selon un angle donné et dans un sens précis. Voici une description complète de ce concept :

1. Composantes essentielles d’une rotation : Centre de rotation : C’est un point fixe, noté souvent � O, autour duquel la rotation s’effectue. Ce point ne bouge pas pendant la transformation. Angle de rotation : Il correspond à l’angle (mesuré en degrés ou en radians) qui décrit l’ampleur du mouvement. Cet angle peut être : Positif : si la rotation s’effectue dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique). Négatif : si la rotation s’effectue dans le sens horaire. Sens de rotation : Deux conventions principales sont utilisées : Le sens anti-horaire est généralement considéré comme le sens positif. Le sens horaire est considéré comme le sens négatif. 2. Propriétés d’une rotation : Isométrie : Une rotation conserve les distances entre les points. Ainsi, la forme et les dimensions des figures ne changent pas. Orientation préservée : Une rotation ne modifie pas l’orientation d’une figure plane. Image des points : Pour tout point � M du plan et son image � ′ M ′ 

 après rotation :

� � = � � ′ OM=OM ′ 

 (les distances au centre

� O sont égales). L’angle � � � ′ ^ MOM ′ 

 correspond à l’angle de rotation donné.

Transformations circulaires : Une rotation fait "tourner" les points autour du centre, chaque point décrivant un arc de cercle. 3. Représentation mathématique : Dans un repère orthonormé, une rotation de centre � ( 0 , 0 ) O(0,0) et d'angle � θ peut être exprimée par les formules suivantes pour un point � ( � , � ) M(x,y) et son image � ′ ( � ′ , � ′ ) M ′ 

(x

′ 

,y

′ 

) :

{ � ′ = � cos ⁡ � − � sin ⁡ � , � ′ = � sin ⁡ � + � cos ⁡ � . { x ′ 

=xcosθ−ysinθ,

y ′ 

=xsinθ+ycosθ.

​

Si le centre de rotation est � ( � , � ) O(a,b), les coordonnées sont ajustées en déplaçant temporairement l'origine au centre � O.

4. Cas particuliers : Une rotation d’angle 0 ∘ 0 ∘ 

 ou

36 0 ∘ 360 ∘ 

 : la transformation est l'identité (les points restent à leur place).

Une rotation d’angle 18 0 ∘ 180 ∘ 

 : on parle d’une symétrie centrale par rapport au centre de rotation.

Une rotation d’angle 9 0 ∘ 90 ∘ 

 ou

− 9 0 ∘ −90 ∘ 

 : les points se déplacent selon des quarts de tour.

5. Applications des rotations : En géométrie : Construction de figures symétriques, études des propriétés des polygones réguliers, etc. En physique : Études des mouvements circulaires ou des rotations dans l’espace. En informatique graphique : Manipulation et transformations des objets dans les jeux vidéo ou logiciels de dessin. Dans la vie courante : Les aiguilles d’une horloge, les roues qui tournent, etc. En résumé, une rotation est une transformation fondamentale en géométrie, combinant symétrie, mouvement circulaire et invariance des distances, avec de nombreuses applications dans les sciences et la vie quotidienne.

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Définition graphique

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Puce-didaquest.png Exemples, applications, utilisations

Voici des exemples d’applications et contextes liés au concept des rotations du plan :

Dans un plan euclidien, une rotation est une transformation qui fait tourner une figure autour d'un point fixe appelé centre de rotation. Elle est définie par un angle et un sens (horaire ou antihoraire). Ce concept est utilisé pour analyser des symétries, tracer des cercles et résoudre des problèmes géométriques complexes.

Les rotations sont couramment utilisées dans les logiciels de conception graphique et d’animation pour manipuler des objets. Par exemple, dans les jeux vidéo ou les animations 2D/3D, les rotations permettent de faire tourner des éléments autour de leurs axes pour créer des mouvements réalistes.

En mécanique, les rotations du plan sont utilisées pour décrire le mouvement des corps rigides, tels que les roues ou les engrenages. Elles sont également essentielles dans l'étude des systèmes dynamiques, où elles modélisent des trajectoires circulaires ou oscillantes.

Dans la navigation, les rotations sont utilisées pour définir les changements de direction d’un véhicule ou d’un robot par rapport à une orientation initiale. En robotique, les rotations permettent de contrôler les bras articulés ou de calculer les déplacements dans un espace plan.

En traitement d'images, les rotations permettent de modifier l’orientation d’une image ou d’un objet détecté dans une scène. Cela est utile pour l’alignement des données, la reconnaissance de formes ou l’amélioration de la présentation visuelle.

Dans le plan complexe, une rotation autour de l'origine peut être représentée par la multiplication d’un nombre complexe par un autre nombre complexe de module 1 (unitaire). Ce concept est utilisé dans les transformations géométriques, l'analyse de Fourier, et l’étude des fonctions complexes.

Les rotations peuvent être appliquées à des concepts abstraits comme les intervalles musicaux dans la théorie de la musique. Par exemple, une rotation du plan peut représenter un changement d’échelle ou une modulation harmonique dans un espace tonal.

Les rotations du plan sont utilisées pour décrire les mouvements apparents des étoiles, des planètes et des satellites dans le ciel. Par exemple, les rotations des axes dans les modèles planétaires permettent de prédire les éclipses ou les cycles de saison.

En architecture, les rotations sont utilisées pour concevoir des formes et des structures complexes, comme les escaliers en colimaçon ou les façades symétriques. Elles sont également importantes dans les logiciels de modélisation pour tester différentes configurations spatiales.

Les rotations d'un plan peuvent être utilisées dans les algorithmes cryptographiques pour encoder ou transformer des données, en particulier dans les systèmes qui manipulent des points dans un espace vectoriel pour sécuriser les communications.

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Pour citer cette page: (du plan) 

ABROUGUI, M & al, 2024. Rotations du plan. In Didaquest [en ligne]. <http:www.didaquest.org/wiki/Rotations_du_plan>, consulté le 22, décembre, 2024
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