Différences entre versions de « Addition et multiplication en algébre »

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*Aujourd’hui, on introduit la notion de « groupe » dans les cours d’algèbre comme un ensemble d’éléments sur lesquels on peut effectuer une opération. On peut penser à un ensemble de nombres avec, comme opération, l’addition ou la multiplication, ou encore à un ensemble de fonctions pour lequel l’opération serait la composition. Par exemple, l’ensemble des entiers relatifs avec l’addition comme opération est un groupe, car il vérifie les quatre règles qui définissent un groupe
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*Il est possible de faire l’addition de symboles autres que des nombres.
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Par exemple, on peut dire que si a représente un “nombre quelconque”, a + a + a donne trois fois ce “nombre quelconque”,
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soit 3×a. (On appelle un nombre a “quelconque” une variable).
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Ordinairement on écrit tout simplement 3a, ou parfois 3·a.
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Les trois expressions 3×a, 3a et 3 · a veulent toutes dire la même chose.
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De préférence on utilise ce qu’il y a de plus simple, 3a.
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*L’expression suivante, 3a²bc³, devrait être interprétée comme suit: 3 fois un nombre a au carré fois un autre nombre b fois un troisième nombre c au cube.
 
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*La première règle est simple : c’est qu’on doit rester dans l’ensemble lorsqu’on effectue l’opération.
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*la seconde règle, on peut, si l’on doit opérer sur plus de trois éléments, travailler de proche en proche comme on veut, du moment qu’on ne modifie pas l’ordre des éléments(l'associativité).
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* '''Addition''':
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*la troisième règle est l'existence d'un élément neutre.(0 pour l'addition et 1 pour la multiplication)
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En algèbre on peut seulement additionner des termes semblables
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*la quatrième règle, on doit toujours pouvoir faire marche arrière.(il suffit de faire la somme de n’importe quel entier relatif et de son opposé pour trouver 0)
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*'''Multiplication''':
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En algèbre on peut multiplier tous les termes qu’ils soient semblables
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ou non.
 
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Image:Grpe1.png|Les manipulations possibles du cube de Rubik forment un groupe.
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Image:Addmul.png |terme et produit de deux facteurs
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Image:Grpe2.gif|Rotation(les groupes ont des applications géométriques.)
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Image:Addmul2.png |Symbole d'opération mathématique
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Image:Grpe3.jpg|Groupe
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Image:Addmul3.jpg |terme algèbrique
  
 
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<youtube width="250" height="250">IZoqMEjmE0I</youtube>
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<youtube width="250" height="250">OoHnkqDHGEc</youtube>
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<youtube width="250" height="250">p8gSeXA-Pls</youtube>
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<youtube width="250" height="250">WSauHO-FfaA</youtube>
  
 
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[[groupe]]
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[[addition]]
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/ [[loi de composition interne]]
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/ [[multiplication]]
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/ [[élément neutre]]
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/ [[algèbre]]
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/ [[élément symétrique]]
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/ [[variable]]
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/ [[Algèbre]]
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/ [[semblables]]
  
 
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*Par exemple, l'addition(+) est une loi de composition interne sur R et le groupe est (R,+). L'élément neutre est 0. De même, (Z,+), (Q,+) et (C,+) sont des groupes
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*'''Addition''':
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*On peut noter que N n'est pas un groupe ni pour l'addition (ses éléments n'ont pas d'opposés), ni pour la multiplication (ses éléments sont entiers).
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  7a²b³ + a · 8b³a = 7a²b³ + 8a²b³ = 15a²b³.  
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On ne peut pas additionner des termes qui ne sont pas semblables.  
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7a²b³ + a · 8b²a = 7a²b³ + 8a²b²
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n’est pas simplifiable puisque les termes 7a²b³ et 8a²b² ne sont pas semblables.
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5x²y³z + z · 8x²z + zy²x²y + x²z² = 5x²y³z + x²y³z + 8x²z² + x²z²
 +
                                    = 6x²y³z + 9x²z².
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*'''Multiplication''':
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5x²y³z × 8x²z × zy²x²y × x²z² = 5 · 8 · x²y³zx²y³zx²y³zx²z²
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                              = 5x²y³z · x²y³z · 8x²y³z · x²z²
 +
                              = 40x²x²x²x²y³y³y³zzzz²
 +
                              = 40x⁸y⁹z⁵
 
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* Confusion entre inverse et opposé.
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* Confusion entre l'addition et la multiplication
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* On ne vérifie pas que l'ensemble est muni d'une loi de composition interne.
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* Confusion entre la puissance et la multiplication
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* Erreur fréquente: additionner des termes qui ne sont pas semblables
  
 
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* c'est quoi un groupe?
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* Est ce qu'on peut additionner ou soustraire  a² et a³ ?
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* Est ce que l'ensemble des entiers naturels muni de l'addition est un groupe ?                                                
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* Est ce qu'on peut multiplier a² et a³  ?                                              
  
 
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Version actuelle datée du 7 mai 2017 à 21:21


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Définition écrite

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  • Il est possible de faire l’addition de symboles autres que des nombres.

Par exemple, on peut dire que si a représente un “nombre quelconque”, a + a + a donne trois fois ce “nombre quelconque”, soit 3×a. (On appelle un nombre a “quelconque” une variable). Ordinairement on écrit tout simplement 3a, ou parfois 3·a. Les trois expressions 3×a, 3a et 3 · a veulent toutes dire la même chose. De préférence on utilise ce qu’il y a de plus simple, 3a.

  • L’expression suivante, 3a²bc³, devrait être interprétée comme suit: 3 fois un nombre a au carré fois un autre nombre b fois un troisième nombre c au cube.


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  • Addition:

En algèbre on peut seulement additionner des termes semblables

  • Multiplication:

En algèbre on peut multiplier tous les termes qu’ils soient semblables ou non.


More-didaquest.png Addition et multiplication en algébre - Historique (+)


Définition graphique

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  • terme et produit de deux facteurs

  • Symbole d'opération mathématique

  • terme algèbrique


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  • Addition:
 7a²b³ + a · 8b³a = 7a²b³ + 8a²b³ = 15a²b³.

On ne peut pas additionner des termes qui ne sont pas semblables. 

7a²b³ + a · 8b²a = 7a²b³ + 8a²b²

n’est pas simplifiable puisque les termes 7a²b³ et 8a²b² ne sont pas semblables. 

5x²y³z + z · 8x²z + zy²x²y + x²z² = 5x²y³z + x²y³z + 8x²z² + x²z²
                                   = 6x²y³z + 9x²z².
  • Multiplication:
5x²y³z × 8x²z × zy²x²y × x²z² = 5 · 8 · x²y³zx²y³zx²y³zx²z²
                              = 5x²y³z · x²y³z · 8x²y³z · x²z²
                              = 40x²x²x²x²y³y³y³zzzz²
                              = 40x⁸y⁹z⁵

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Puce-didaquest.png Erreurs ou confusions éventuelles

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  • Confusion entre l'addition et la multiplication
  • Confusion entre la puissance et la multiplication
  • Erreur fréquente: additionner des termes qui ne sont pas semblables

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Puce-didaquest.png Questions possibles

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  • Est ce qu'on peut additionner ou soustraire a² et a³ ?
  • Est ce qu'on peut multiplier a² et a³ ?

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Education: Liens, sites et portails




Difficultés liées à son enseignement

  • Unicité de l'élément neutre et des symétriques.
  • Morphisme de groupes.
  • Groupe quotient

Aides et astuces

Puce-didaquest.png Bibliographie

  • Club Pythagore, 2007
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