La division
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Définition de base
La division est une opération mathématique qui consiste à partager un nombre (le dividende) en parts égales, selon un nombre donné (le diviseur), pour obtenir un résultat appelé quotient. Par exemple, diviser 12 par 4 donne 3.
Définition intermédiaire
La division est une opération arithmétique qui consiste à diviser un nombre en un nombre de parties égales. Elle peut être exprimée sous la forme d'un quotient, parfois accompagné d'un reste. Par exemple, la division de 15 par 4 donne un quotient de 3 et un reste de 3, ce qui signifie que 4 peut entrer dans 15 trois fois, avec un excédent de 3.
Définition avancée
La division est l'opération inverse de la multiplication, où l'on cherche à déterminer combien de fois un nombre (dividende) peut être contenu dans un autre (diviseur). Elle peut être représentée comme un quotient entier, ou avec un reste, lorsque la division n'est pas exacte. Dans le cas de la division de fractions, l'opération consiste à multiplier le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde et vice versa, en utilisant la règle de l'inverse de la multiplication.
Définition approfondie
La division est une opération fondamentale en mathématiques qui repose sur l'idée d'égaliser des parts d'un tout, où un nombre, appelé dividende, est partagé en un certain nombre de parts égales, selon un diviseur. Si la division n'est pas exacte, le résultat se compose d'un quotient entier et d'un reste. La division peut être réalisée avec des entiers, des nombres décimaux ou des fractions, chacune ayant des règles spécifiques, telles que la gestion de la virgule dans les nombres décimaux ou la multiplication par l'inverse lors de la division de fractions. Par ailleurs, la division par zéro est indéfinie, car il est impossible de répartir un nombre en zéro parts. La division peut également être visualisée à travers des modèles physiques, des représentations graphiques, et en appliquant des algorithmes comme la division longue, permettant de décomposer la division en étapes successives.
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Typologie de base Division exacte : Lorsque le dividende est parfaitement divisible par le diviseur, donnant un quotient entier sans reste. Division avec reste : Lorsque le dividende n'est pas exactement divisible par le diviseur, donnant un quotient entier avec un reste. Division de fractions : Lorsque l'on divise une fraction, on multiplie le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, en inversant la fraction.
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La division - Historique (+)
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Concepts ou notions associés
Opération / Dividende / Diviseur / Quotient / Reste / Fraction / Partage / Répartition / Distributivité / Multiplicateur inverse / Propriété de la division / Calcul mental / Division euclidienne / Division décimale / Calcul exact / Division entière / Simplification / Inverse multiplicatif / Modulo / Division longue / Algorithme / Résolution / Règle de la division / Partiel / Divisibilité /
La division - Glossaire / (+)
Exemples, applications, utilisations
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Erreurs ou confusions éventuelles
Exemples de difficultés de compréhension ou d'interprétation courantes:
- Division par zéro: La division par zéro est souvent mal comprise. Les élèves peuvent penser qu'il est possible de diviser par zéro, alors qu'en réalité, cela n'a pas de sens en mathématiques. Cela résulte du fait que multiplier n'importe quel nombre par zéro donne toujours zéro, et donc, on ne peut pas inverser ce processus.
- Confusion entre la division et la multiplication: Les élèves peuvent confondre la division avec la multiplication. Par exemple, lorsqu'ils rencontrent une division, ils peuvent interpréter le problème comme une multiplication inverse. Il est donc crucial de leur montrer la relation inverse entre multiplication et division pour clarifier cette confusion.
- Division avec des restes: Beaucoup d'élèves ont du mal à comprendre les divisions avec reste, notamment la manière de traiter le reste dans des contextes pratiques. Ils peuvent avoir tendance à ignorer le reste ou à ne pas savoir comment le représenter sous forme de fraction ou de nombre décimal.
- Divisions avec des nombres décimaux: Lorsque l'on divise des nombres décimaux, les élèves ont souvent du mal à déplacer la virgule correctement ou à interpréter les résultats comme étant une fraction ou un nombre décimal. La compréhension du placement de la virgule dans le quotient est un point de difficulté.
- Incompréhension des divisions fractionnaires: Diviser une fraction par une autre fraction est un concept avancé qui déroutent souvent les élèves. Ils peuvent avoir du mal à comprendre pourquoi il faut multiplier par l'inverse et à visualiser cette opération à travers des modèles concrets.
- Répétition et pratique insuffisantes: La division est une opération qui nécessite une pratique constante pour être bien maîtrisée. Si les élèves n'ont pas assez d'exercices pratiques pour renforcer leur compréhension, ils risquent de ne pas réussir à appliquer correctement les règles de la division, notamment lorsqu'il s'agit de diviser des nombres plus complexes.
- Divisions longues: La division longue (division euclidienne) est souvent source de confusion, notamment en ce qui concerne l’étape de "retrouver le quotient" et le "reste". Les étapes successives peuvent sembler compliquées et entraîner des erreurs.
- Erreurs dans les règles de divisibilité: Les élèves peuvent avoir des difficultés à appliquer correctement les règles de divisibilité (par exemple, savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 5, etc.). Ils peuvent oublier des critères comme la somme des chiffres ou ne pas être clairs sur ce que signifie être divisible.
- Confusion entre quotient et résultat: Dans une division, il y a souvent une confusion entre le quotient et le reste. Certains élèves considèrent parfois que la division n’est pas terminée tant qu’il y a un reste, et donc ne savent pas comment formuler le quotient final en présence d’un reste.
- Problèmes avec les divisions inversées: Les élèves peuvent ne pas saisir l’idée que diviser c’est "chercher combien de fois un nombre peut être contenu dans un autre", et peuvent avoir des difficultés à inverser les rôles du dividende et du diviseur, particulièrement lors de problèmes plus complexes.
Confusions ou glissement de sens potentiels
- Division et partage - Division et multiplication : La division est souvent comprise comme un simple partage, mais la distinction n'est pas toujours claire pour les élèves. Par exemple, ils peuvent voir la division de 12 bonbons entre 4 amis comme un "partage", ce qui peut les amener à associer directement la division à une simple répartition d'objets sans saisir la relation inverse avec la multiplication.
- Division exacte - Division avec reste : Beaucoup d'élèves ont du mal à comprendre la différence entre une division exacte (où le quotient est un entier) et une division avec reste (où le quotient est un entier et il y a un "reste" à la fin). Ils peuvent penser que toute division doit aboutir à un nombre entier, confondant ainsi les deux concepts et omettant de considérer la possibilité d'un reste.
- Division par zéro - Impossible et indéfini : Les élèves peuvent avoir du mal à saisir pourquoi la division par zéro est "impossible". Souvent, ils considèrent que, tout comme la division par un nombre non nul est possible, la division par zéro pourrait aussi donner un résultat, mais celui-ci serait simplement "infini" ou "indéfini", ce qui crée une confusion entre l'idée de "impossibilité" et celle d'"indéfinition".
- Division de fractions - Multiplication par l'inverse : Lorsqu'ils rencontrent la division de fractions, les élèves peuvent comprendre qu'ils doivent "multiplier par l'inverse", mais ils ne saisissent pas toujours pourquoi cette règle fonctionne. Ce glissement de sens se produit lorsque la division par une fraction est perçue comme un simple "inverse" de la multiplication, sans comprendre pleinement le raisonnement sous-jacent.
- Diviser des nombres entiers - Diviser des nombres décimaux : Lorsqu'un élève est capable de diviser des nombres entiers, il peut éprouver des difficultés à passer à la division de nombres décimaux. Ils peuvent penser que la règle de division est la même, mais la gestion de la virgule dans le quotient complique souvent la compréhension, car ils négligent la nécessité de déplacer la virgule dans le calcul.
- Division et quotient - Division et résultat : La confusion entre le quotient et le résultat d'une division est fréquente. Les élèves peuvent se concentrer sur la réponse de la division et ne pas comprendre que le quotient est le "résultat" proprement dit, et que ce résultat peut inclure un reste ou une fraction. Cela crée une ambivalence entre ce qu'on considère comme "le résultat final" et le véritable quotient.
Autres erreurs fréquentes:
- Division et partage - Division et fraction : Les élèves peuvent confondre la division, qui implique une répartition égale, avec la fraction, qui représente une partie d'un tout, sans comprendre que la division est une opération qui mène à un quotient, tandis que la fraction est une représentation d’une partie.
- Diviser des entiers - Diviser des décimaux : Certains élèves pensent que la division des entiers est identique à celle des décimaux, négligeant la nécessité de traiter la virgule dans le quotient lorsqu'ils divisent des nombres décimaux.
- Division de fractions - Inverse de multiplication : Beaucoup d’élèves confondent la division de fractions avec une multiplication directe, sans réaliser qu'il faut multiplier par l’inverse de la fraction pour résoudre une division.
- Diviser avec reste - Diviser sans reste : Les élèves peuvent confondre la division avec reste et la division exacte, en pensant que la division doit toujours donner un résultat entier, ce qui ne tient pas compte du reste dans certaines divisions.
- Division longue - Division simple : Certains pensent que la division longue est nécessaire dans tous les cas, sans se rendre compte que des divisions simples peuvent être effectuées mentalement ou avec des méthodes plus rapides.
- Division et multiplication - Multiplication inverse : Il existe une confusion entre la division et la multiplication inverse. Les élèves peuvent ne pas comprendre que diviser par un nombre équivaut à multiplier par son inverse, ce qui complique la compréhension des opérations.
Questions possibles
- Quelle est la différence entre la division avec reste et la division exacte ?: La division avec reste (division euclidienne) donne un quotient et un reste, tandis que la division exacte n’a pas de reste, et le quotient est un nombre entier.
- Pourquoi ne peut-on pas diviser un nombre par zéro ?: La division par zéro est impossible car cela n'a pas de sens mathématique ; il n'existe pas de nombre qui multiplié par zéro donne un nombre différent de zéro.
- Que signifie le quotient dans une division ?: Le quotient est le résultat de la division, c'est-à-dire le nombre de fois que le diviseur peut être contenu dans le dividende.
- Est-ce que la division est commutative comme l'addition ?: Non, la division n'est pas commutative. Par exemple, 6 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 6.
- Pourquoi la division par un nombre inférieur à 1 donne un quotient plus grand ?: Diviser par un nombre inférieur à 1 (comme 1/2) équivaut à multiplier par un facteur plus grand que 1, ce qui augmente le quotient.
- Que se passe-t-il si on divise un nombre entier par un nombre supérieur à lui ?: Le quotient sera un nombre décimal ou une fraction. Par exemple, 5 ÷ 6 donne 0,83.
- Est-ce que la division d'un nombre par lui-même est toujours égale à 1 ?: Oui, tout nombre non nul divisé par lui-même donne 1. Par exemple, 5 ÷ 5 = 1.
- Comment savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 5 ou 10 ?: Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5, et par 10 si son dernier chiffre est 0.
- Pourquoi les fractions sont-elles utilisées en division ?: Les fractions représentent la division d’un nombre en parts égales et sont utilisées pour exprimer des résultats de division non entiers de manière simplifiée.
- Peut-on diviser une fraction par un autre nombre ou une autre fraction ?: Oui, pour diviser par une fraction, il faut multiplier par son inverse (ex. : 1/2 ÷ 1/3 = 1/2 × 3/1 = 3/2).
Liaisons enseignements et programmes
Idées ou Réflexions liées à son enseignement
- Utilisation de manipulables concrets: Utiliser des objets physiques (jetons, cubes, bonbons) pour illustrer la division en les répartissant en groupes égaux, ce qui aide à visualiser le processus de la division.
- Création de modèles visuels: Utiliser des diagrammes de partage ou des schémas pour représenter graphiquement les divisions exactes et les divisions avec reste, afin de rendre les concepts plus tangibles.
- Illustration de la division comme multiplication inversée: Montrer que diviser par un nombre équivaut à multiplier par son inverse. Par exemple, expliquer 12 ÷ 3 comme étant identique à 12 × 1/3, en utilisant des exemples numériques clairs.
- Utilisation de la manipulation de fractions: Créer des modèles de fraction (avec des parts de gâteau ou des barres fractionnées) pour expliquer pourquoi la division de fractions revient à multiplier par l'inverse de la fraction.
- Exploration de la division avec des restes à l'aide de jeux: Organiser des jeux où les élèves doivent diviser un nombre d'objets et trouver le reste, en utilisant des visuels ou des cartes pour rendre l'apprentissage ludique.
- Révision par erreur et auto-correction: Fournir des exercices où les élèves commettent délibérément des erreurs de division, puis les corrigent eux-mêmes en expliquant les raisons des erreurs, afin de renforcer la compréhension.
- Simulation numérique des divisions avec des décimaux: Utiliser des applications ou des outils en ligne pour simuler la division de nombres décimaux, en montrant les résultats avec des graphiques ou des modèles numériques interactifs.
- Intégration des divisions dans des contextes réels: Relier la division à des situations quotidiennes, comme diviser une pizza entre amis, pour aider les élèves à comprendre son utilité dans des scénarios concrets.
- Exercices de division avec des nombres entiers et décimaux: Proposer des exercices progressifs, en commençant par la division de nombres entiers simples, puis en introduisant lentement les décimaux et les fractions.
- Utilisation de jeux mathématiques en ligne: Utiliser des jeux interactifs ou des applications comme "Kahoot!" ou "Prodigy" pour permettre aux élèves de pratiquer la division dans un environnement interactif et stimulant.
Education: Autres liens, sites ou portails
Bibliographie
Pour citer cette page: (division)
ABROUGUI, M & al, 2025. La division. In Didaquest [en ligne]. <http:www.didaquest.org/wiki/La_division>, consulté le 23, mai, 2025
- **Dupuis, S. (2020).** *L'enseignement des mathématiques à l'école primaire*. Éditions Math'Éduc : Méthodes pratiques pour aborder les opérations fondamentales.
- **Ministère de l'Éducation (2018).** *Guide pédagogique pour les mathématiques au cycle primaire*. Édition nationale tunisienne.
- **Papert, S. (1993).** *Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas*. Basic Books : Une exploration de l'impact de la programmation sur l'apprentissage mathématique.
- **Karsenty, R., & Arcavi, A. (2021).** *Exploring Mathematical Understanding: Teaching the Basics Through Creative Methods*. Cambridge University Press.
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